Tempo necessário para o lago congelar. Supondo que a superfície exterior da camada de gelo esteja a uma temperatura de 10^circ C e que a superfície inferior esteja a 0^circ C, calcule o tempo necessário para se formar uma camada de gelo com espessura de 25,0 cm.

Passo 1

O exercício pede pra gente descobrir quanto tempo leva pra se formar uma camada de gelo de 25,0 cm num lago, sabendo que a superfície de cima do gelo está a –10 °C (fora) e a de baixo (no contato com a água) está a 0 °C.
Conteúdo: condução de calor em regime de formação de gelo (problema de Stefan). Vamos usar:
  • Lei de Fourier (fluxo de calor por condução).
  • Energia latente de fusão do gelo.
  • Equacionamento diferencial para a espessura do gelo crescendo com o tempo.

Passo 2

Teoria resumida:
  1. Enquanto o gelo está crescendo, toda a energia que sai da água para congelar (energia latente) tem de atravessar a camada já formada por condução.
  2. Fluxo de calor por condução unidimensional:
dot Q = -k,A,De
onde
k = 2,2 W/(m·K) (condutividade do gelo),
A = área (vai se cancelar),
ΔT = temperatura “por cima” menos “por baixo” = (0 – (–10)) = 10 K,
x = espessura do gelo que cresce com o tempo.
3) Para formar uma camada infinitesimal de gelo dx em tempo dt, a energia necessária é a massa desse anel de gelo vezes o calor latente:
dQ = rho,A,dx ;Lf
com ρ = 917 kg/m³ e L_f = 3,34×10^5 J/kg.

Passo 3

Montando a equação diferencial:
– Pela condução, a potência (energia por tempo) que chega à interface água-gelo é
dot Q = k,A,De
– Pela solidificação, essa potência congela gelo à taxa
dot Q = dQdt = rho,A,Lf,dxdt
Igualando as duas expressões:
rho,A,Lf,dxdt = k,A,De
Cancelamos A e rearranjamos:
x,dx = k,De

Passo 4

Integramos de x=0 até x=0{,}25 m e t=0 até t:
integral0^0,25 x,dx = k,De
Logo
t = rho,Lf2,k,De
Substituindo números:
ρ = 917 kg/m³,
L_f = 3,34×10^5 J/kg,
k = 2,2 W/(m·K),
ΔT = 10 K,
x = 0,25 m,
t = 917cdot3,34!times!10^52cdot2,2cdot10,(0,25)^2 approx 4,35times10^5;s

Resposta

t ≈ 4,35×10^5 s (aprox. 5,0 dias)

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