Descreva as superfícies de nível da função.
f(x, y, z)=x^{2}-y^{2}+z^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z^{2} e pede: descrever as superfícies de nível, ou seja, para cada constante real c descrever o conjunto
S_{c}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid f(x,y,z)=c\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão algébrica da função é f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z^{2}.
  • Precisa-se caracterizar geometricamente os conjuntos S_{c} para valores gerais de c\in\mathbb{R}.
  • Não há outros dados numéricos; a análise deve considerar todos os casos possíveis de c.

Passo 2

Esclarecendo o que é uma superfície de nível e reescrevendo a equação numa forma conveniente.
  • Definição: a superfície de nível para uma constante c é o conjunto de pontos que satisfazem
x^{2}-y^{2}+z^{2}=c.
  • Reescrever a equação como
x^{2}+z^{2}-y^{2}=c,
o que mostra um termo quadrático com sinais +, + e -. Essa forma já sugere que estamos diante de uma quadraica do tipo indefinido (duas direções com coeficiente positivo e uma com coeficiente negativo). Para classificar geometricamente, é natural separar os casos segundo o sinal de c (positivo, zero, negativo).

Passo 3

Caso c>0.
  • Escrevendo em forma normalizada:
\frac{x^{2}}{c}+\frac{z^{2}}{c}-\frac{y^{2}}{c}=1.
  • Interpretação prática: para uma fatia horizontal y=\text{const}, a interseção com S_{c} é dada por
x^{2}+z^{2}=c+y^{2}.
Isso é uma circunferência de raio \sqrt{c+y^{2}}, bem definida para todo y porque c+y^{2}>0 sempre que c>0.
  • Consequências geométricas:
    • Para y=0 a interseção é a circunferência de raio \sqrt{c}.
    • À medida que |y| aumenta, o raio \sqrt{c+y^{2}} aumenta; não há valores de y que tornem a interseção vazia.
    • A superfície é conectada (não se parte em folhas separadas) e tem simetria em relação aos planos x=0, y=0, z=0.
  • Nome padrão: essa superfície é um hiperbolóide de uma folha (os dois termos positivos e um negativo igualados a 1 correspondem a um hiperbolóide de uma folha, alongado ao longo do eixo y).

Passo 4

Caso c=0.
  • A equação fica
x^{2}+z^{2}-y^{2}=0,
ou
x^{2}+z^{2}=y^{2}.
  • Reescrita útil:
\sqrt{x^{2}+z^{2}}=|y|.
  • Interpretação geométrica:
    • Para cada y fixo, a interseção é a circunferência de raio |y|. Para y=0 a interseção é o ponto (0,0,0).
    • O conjunto total é a superfície dupla em forma de cone com vértice na origem e eixo coincidindo com o eixo y — um cone duplo circular (duas nappes), simétrico em y\to -y.
  • Nome padrão: cone circular duplo (ou cône de duas folhas) com vértice na origem.

Passo 5

Caso c<0.
  • Escreva c=-m com m>0. A equação torna-se
x^{2}+z^{2}-y^{2}=-m \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+z^{2}=y^{2}-m.
  • Para que existam pontos reais (x,z) para um dado y, é necessário y^{2}-m\ge 0, isto é |y|\ge\sqrt{m}.
  • Para tais y válidos, a interseção é a circunferência
x^{2}+z^{2}=y^{2}-m,
de raio \sqrt{y^{2}-m}. Para |y|<\sqrt{m} não há soluções.
  • Consequências geométricas:
    • A superfície tem duas componentes desconectadas: uma para y\ge\sqrt{m} e outra para y\le -\sqrt{m}.
    • Cada componente é fechada em torno do eixo y e fica “separada” da outra por uma região vazia em torno da origem.
  • Nome padrão: hiperbolóide de duas folhas (uma folha acima e outra abaixo do plano y=0).

Passo 6

Outras observações úteis para entender e reconhecer essas superfícies na prova.
  • Simetrias: em todos os casos a equação é par em x, y e z individualmente, logo existe simetria por reflexão em cada plano coordenado: (x,y,z)\mapsto(\pm x,\pm y,\pm z) conforme o sinal escolhido.
  • Cortes por planos coordenados:
    • Plano y=\text{const}: gera circunferências quando c+y^{2}\ge 0 (ou conforme os casos já descritos).
    • Plano x=\text{const} ou z=\text{const}: produzem hipérboles (ou retas duplas no caso degenerado c=0), pois se x fixo então z^{2}-y^{2}=c-x^{2}, que é equação de hipérbole para valores adequados do parâmetro.
  • Exemplos concretos para memorização rápida:
    • c=1: superfície é hiperbolóide de uma folha com seção em y=0 sendo círculo de raio 1.
    • c=0: cone duplo x^{2}+z^{2}=y^{2}.
    • c=-1: hiperbolóide de duas folhas, sem pontos com |y|<1, folhas iniciam em y=\pm1.

Resposta

Para c>0: hiperbolóide de uma folha, dado por \;x^{2}+z^{2}-y^{2}=c.\n
Para c=0: cone duplo circular com vértice na origem, dado por \;x^{2}+z^{2}-y^{2}=0.\n
Para c<0: hiperbolóide de duas folhas, dado por \;x^{2}+z^{2}-y^{2}=c (duas componentes para |y|\ge\sqrt{-c}).

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