Descreva as superfícies de nível da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: descrever as superfícies de nível, ou seja, para cada constante real
descrever o conjunto
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão algébrica da função é
. - Precisa-se caracterizar geometricamente os conjuntos
para valores gerais de . - Não há outros dados numéricos; a análise deve considerar todos os casos possíveis de
.
Passo 2
Esclarecendo o que é uma superfície de nível e reescrevendo a equação numa forma conveniente.
- Definição: a superfície de nível para uma constante
é o conjunto de pontos que satisfazem
- Reescrever a equação como
o que mostra um termo quadrático com sinais
,
e
. Essa forma já sugere que estamos diante de uma quadraica do tipo indefinido (duas direções com coeficiente positivo e uma com coeficiente negativo). Para classificar geometricamente, é natural separar os casos segundo o sinal de
(positivo, zero, negativo).
Passo 3
Caso
.
- Escrevendo em forma normalizada:
- Interpretação prática: para uma fatia horizontal
, a interseção com é dada por
Isso é uma circunferência de raio
, bem definida para todo
porque
sempre que
.
- Consequências geométricas:
- Para
a interseção é a circunferência de raio . - À medida que
aumenta, o raio aumenta; não há valores de que tornem a interseção vazia. - A superfície é conectada (não se parte em folhas separadas) e tem simetria em relação aos planos
, , .
- Para
- Nome padrão: essa superfície é um hiperbolóide de uma folha (os dois termos positivos e um negativo igualados a
correspondem a um hiperbolóide de uma folha, alongado ao longo do eixo ).
Passo 4
Caso
.
- A equação fica
ou
- Reescrita útil:
- Interpretação geométrica:
- Para cada
fixo, a interseção é a circunferência de raio . Para a interseção é o ponto . - O conjunto total é a superfície dupla em forma de cone com vértice na origem e eixo coincidindo com o eixo
— um cone duplo circular (duas nappes), simétrico em .
- Para cada
- Nome padrão: cone circular duplo (ou cône de duas folhas) com vértice na origem.
Passo 5
Caso
.
- Escreva
com . A equação torna-se
- Para que existam pontos reais
para um dado , é necessário , isto é . - Para tais
válidos, a interseção é a circunferência
de raio
. Para
não há soluções.
- Consequências geométricas:
- A superfície tem duas componentes desconectadas: uma para
e outra para . - Cada componente é fechada em torno do eixo
e fica “separada” da outra por uma região vazia em torno da origem.
- A superfície tem duas componentes desconectadas: uma para
- Nome padrão: hiperbolóide de duas folhas (uma folha acima e outra abaixo do plano
).
Passo 6
Outras observações úteis para entender e reconhecer essas superfícies na prova.
- Simetrias: em todos os casos a equação é par em
, e individualmente, logo existe simetria por reflexão em cada plano coordenado: conforme o sinal escolhido. - Cortes por planos coordenados:
- Plano
: gera circunferências quando (ou conforme os casos já descritos). - Plano
ou : produzem hipérboles (ou retas duplas no caso degenerado ), pois se fixo então , que é equação de hipérbole para valores adequados do parâmetro.
- Plano
- Exemplos concretos para memorização rápida:
-
: superfície é hiperbolóide de uma folha com seção em sendo círculo de raio . -
: cone duplo . -
: hiperbolóide de duas folhas, sem pontos com , folhas iniciam em .
-
Resposta
Para
: hiperbolóide de uma folha, dado por
.\n
Para : cone duplo circular com vértice na origem, dado por
.\n
Para : hiperbolóide de duas folhas, dado por
(duas componentes para
).
Para
Para