Descreva as superfícies de nível da função.
Passo 1
O enunciado pede: descrever as superfícies de nível da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
dada por . - Uma superfície de nível para um valor real
é o conjunto .
As perguntas implícitas são:
- Qual é a equação geral das superfícies de nível?
- Como essas superfícies se parecem para
, e ? - Há alguma característica especial (por exemplo dependência em
, formato, parametrização)?
Passo 2
Escrevendo a equação de uma superfície de nível genérica para um valor
:
Isto é a equação que devemos analisar. Note que não aparece
na equação: isso já é uma pista importante sobre a geometria (vamos explicar).
Passo 3
Interpretação da ausência de
: como
não depende de
, para qualquer ponto
que satisfaça
todos os pontos
com qualquer
também pertencem à superfície de nível. Em palavras simples: cada curva no plano
que satisfaz
é “esticada” ao longo do eixo
, formando um cilindro (uma superfície prismática) paralela ao eixo
.
Passo 4
Análise das seções no plano
: fixando
qualquer, a interseção da superfície de nível com esse plano é exatamente a curva planar
no plano
. Assim, é suficiente entender as curvas
no plano
e depois lembrar que elas se estendem para todo
.
Passo 5
Caso
. Escrevendo
, podemos dividir por
:
que é a forma padrão de uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos
e
. Geometricamente:
- No plano
é uma hipérbole com ramos abertos ao longo da direção (ou seja, os ramos ficam para grande positivo e grande negativo). - A superfície de nível em
é essa hipérbole para cada , estendida para todos os : um cilindro hiperbólico paralelo ao eixo .
Uma parametrização conveniente (para) é, por exemplo,
com
e
, que descreve ambas as ramos e a extensão em
.
Passo 6
Caso
. Escrevendo
com
, a equação fica
que é novamente uma hipérbole, mas agora com ramos abertos ao longo da direção
. Geometricamente:
- No plano
é uma hipérbole cujos ramos estendem-se nas direções positivas e negativas de . - A superfície de nível é essa hipérbole para cada
, estendida ao longo de todo o eixo : outro cilindro hiperbólico paralelo a .
Uma parametrização (para) é, por exemplo,
com
,
e
.
Passo 7
Caso
. A equação é
Essas são duas retas no plano
. Como antes, cada reta é estendida para todos os
, logo a superfície de nível para
consiste em duas planas verticais:
ambas com qualquer
. Ou seja, dois planos passando pela reta
-axis (eles contêm o eixo
).
Passo 8
Resumo das características e exemplos rápidos:
- Para
: superfície dada por — hipérbole no plano com ramos ao longo de , estendida ao longo de (cilindro hiperbólico). - Para
: superfície dada por — hipérbole no plano com ramos ao longo de , estendida ao longo de . - Para
: superfícies são os planos .
Passo 9
Observações úteis para a prova (pegar mentalmente): sempre verifique se a variável aparece na função; se faltar alguma variável (aqui
), espere um cilindro paralelo a essa direção. Classifique a curva planar
pelo sinal de
para entender a forma (hipérbole ou par de retas).
Resposta
Para cada
a superfície de nível é dada por
.
Para
: hipérbole no plano
com ramos ao longo do eixo
, estendida em
— um cilindro hiperbólico paralelo ao eixo
.
Para
: hipérbole no plano
com ramos ao longo do eixo
, estendida em
— um cilindro hiperbólico paralelo ao eixo
.
Para
: duas planas verticais
e
(cada uma para todo
).