Descreva as superfícies de nível da função.
f(x, y, z)=x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: descrever as superfícies de nível da função f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}.
Informações dadas:
  • A função é f\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} dada por f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}.
  • Uma superfície de nível para um valor real c é o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid f(x,y,z)=c\}.
As perguntas implícitas são:
  • Qual é a equação geral das superfícies de nível?
  • Como essas superfícies se parecem para c>0, c<0 e c=0?
  • Há alguma característica especial (por exemplo dependência em z, formato, parametrização)?

Passo 2

Escrevendo a equação de uma superfície de nível genérica para um valor c\in\mathbb{R}:
x^{2}-y^{2}=c.
Isto é a equação que devemos analisar. Note que não aparece z na equação: isso já é uma pista importante sobre a geometria (vamos explicar).

Passo 3

Interpretação da ausência de z: como f não depende de z, para qualquer ponto (x,y) que satisfaça x^{2}-y^{2}=c todos os pontos (x,y,z) com qualquer z\in\mathbb{R} também pertencem à superfície de nível. Em palavras simples: cada curva no plano xy que satisfaz x^{2}-y^{2}=c é “esticada” ao longo do eixo z, formando um cilindro (uma superfície prismática) paralela ao eixo z.

Passo 4

Análise das seções no plano z=\text{constante}: fixando z qualquer, a interseção da superfície de nível com esse plano é exatamente a curva planar
x^{2}-y^{2}=c
no plano xy. Assim, é suficiente entender as curvas x^{2}-y^{2}=c no plano xy e depois lembrar que elas se estendem para todo z.

Passo 5

Caso c>0. Escrevendo c>0, podemos dividir por c:
\frac{x^{2}}{c}-\frac{y^{2}}{c}=1,
que é a forma padrão de uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos x e y. Geometricamente:
  • No plano xy é uma hipérbole com ramos abertos ao longo da direção x (ou seja, os ramos ficam para x grande positivo e grande negativo).
  • A superfície de nível em \mathbb{R}^{3} é essa hipérbole para cada z, estendida para todos os z: um cilindro hiperbólico paralelo ao eixo z.
    Uma parametrização conveniente (para c>0) é, por exemplo,
x=\pm\sqrt{c}\operatorname{cosh}(t),\qquad y=\sqrt{c}\operatorname{sinh}(t),\qquad z=s,
com t\in\mathbb{R} e s\in\mathbb{R}, que descreve ambas as ramos e a extensão em z.

Passo 6

Caso c<0. Escrevendo c=-d com d>0, a equação fica
x^{2}-y^{2}=-d\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y^{2}}{d}-\frac{x^{2}}{d}=1,
que é novamente uma hipérbole, mas agora com ramos abertos ao longo da direção y. Geometricamente:
  • No plano xy é uma hipérbole cujos ramos estendem-se nas direções positivas e negativas de y.
  • A superfície de nível é essa hipérbole para cada z, estendida ao longo de todo o eixo z: outro cilindro hiperbólico paralelo a z.
    Uma parametrização (para c<0) é, por exemplo,
y=\pm\sqrt{d}\operatorname{cosh}(t),\qquad x=\sqrt{d}\operatorname{sinh}(t),\qquad z=s,
com t\in\mathbb{R}, s\in\mathbb{R} e d=-c.

Passo 7

Caso c=0. A equação é
x^{2}-y^{2}=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}=y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\pm y.
Essas são duas retas no plano xy. Como antes, cada reta é estendida para todos os z, logo a superfície de nível para c=0 consiste em duas planas verticais:
y=x\qquad\text{e}\qquad y=-x,
ambas com qualquer z. Ou seja, dois planos passando pela reta z-axis (eles contêm o eixo z).

Passo 8

Resumo das características e exemplos rápidos:
  • Para c=1: superfície dada por x^{2}-y^{2}=1 — hipérbole no plano xy com ramos ao longo de x, estendida ao longo de z (cilindro hiperbólico).
  • Para c=-1: superfície dada por x^{2}-y^{2}=-1 — hipérbole no plano xy com ramos ao longo de y, estendida ao longo de z.
  • Para c=0: superfícies são os planos y=\pm x.

Passo 9

Observações úteis para a prova (pegar mentalmente): sempre verifique se a variável aparece na função; se faltar alguma variável (aqui z), espere um cilindro paralelo a essa direção. Classifique a curva planar x^{2}-y^{2}=c pelo sinal de c para entender a forma (hipérbole ou par de retas).

Resposta

Para cada c\in\mathbb{R} a superfície de nível é dada por \{(x,y,z)\mid x^{2}-y^{2}=c\}.
Para c>0: hipérbole no plano xy com ramos ao longo do eixo x, estendida em z — um cilindro hiperbólico paralelo ao eixo z.
Para c<0: hipérbole no plano xy com ramos ao longo do eixo y, estendida em z — um cilindro hiperbólico paralelo ao eixo z.
Para c=0: duas planas verticais y=x e y=-x (cada uma para todo z).

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