Questão 3. Considere a EDO de primeira ordem
x^2 y^2+(x^3 y3+y) y^prime=0
(0,5 pt) Mostre que tal equação não é exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
x^2 y^2+(x^3 y3+y) y^prime=0
Nosso objetivo aqui é mostrar que essa equação não é exata. Para isso, precisamos entender o que é uma equação exata e como verificar essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma EDO de primeira ordem:
M(x, y) + N(x, y) y' = 0
Onde:
M(x, y) = x^2 y^2 e N(x, y) = x^3 y3 + y

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $. Uma equação é exata se:
M

Passo 4

Vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Npartial x

Passo 6

Comparando as duas derivadas:
partial Mpartial y = 2x^2 y e partial Npartial x = x^2 y
Vemos que $ 2x^{2} y \neq x^{2} y $ para valores gerais de $ x $ e $ y $.

Passo 7

Como as derivadas parciais não são iguais, concluímos que a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata porque $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $.

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