Questão 3. Considere a EDO de primeira ordem
Mostre que tal equação não é exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Nosso objetivo aqui é mostrar que essa equação não é exata. Para isso, precisamos entender o que é uma equação exata e como verificar essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma EDO de primeira ordem:
Onde:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $. Uma equação é exata se:
Passo 4
Vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Passo 6
Comparando as duas derivadas:
Vemos que $ 2x^{2} y \neq x^{2} y $ para valores gerais de $ x $ e $ y $.
Passo 7
Como as derivadas parciais não são iguais, concluímos que a equação não é exata.
Resposta
A equação diferencial dada não é exata porque $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $.