Questão 3. Considere a EDO de primeira ordem
x^2 y^2+(x^3 y3+y) y^prime=0
(1 pt) Determine um fator integrante mu de modo que mu.( star ) seja uma equação exata.

Passo 1

O enunciado dá uma EDO de primeira ordem do tipo M(x,y)+N(x,y)y’=0 e pede para achar um fator integrante μ que torne a equação exata. O conteúdo é reconhecimento de equação exata e uso de fator integrante dependente só de x.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma diferencial M(x,y)
dx + N(x,y)
dy = 0, identificando
M(x,y) = x^2y^2,
N(x,y) = x^3y3 + y
Esse reconhecimento é importante porque para uma equação ser exata precisamos que ∂M/∂y = ∂N/∂x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2x^2y,
partial Npartial x = x^2y
Como essas duas não coincidem, a equação não é exata.

Passo 4

Verificamos a possibilidade de um fator integrante μ(x) dependendo só de x. Para isso usamos o critério
partial M/partial y - partial N/partial xN = f(x)
Calculamos:
2x^2y - x^2ytfracx^3y3 + y = x^2yy,(x^3/3 +1) = x^2x^3/3 +1 = 3x^2x^3+3,
que de fato depende apenas de x.

Passo 5

Obtemos μ(x) integrando:
ddxlnmu(x) = 3x^2x^3+3
Integrando ambos os lados:
lnmu(x) = integral 3x^2x^3+3 dx = ln(x^3+3) + C
Então, desprezando a constante multiplicativa, temos
mu(x) = x^3 + 3

Resposta

mu(x)=x^3+3

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