Questão 3. Considere a EDO de primeira ordem
Determine um fator integrante
de modo que
.(
) seja uma equação exata.
Passo 1
O enunciado dá uma EDO de primeira ordem do tipo M(x,y)+N(x,y)y’=0 e pede para achar um fator integrante μ que torne a equação exata. O conteúdo é reconhecimento de equação exata e uso de fator integrante dependente só de x.
Passo 2
Reescrevemos a EDO na forma diferencial M(x,y)
dx + N(x,y)
dy = 0, identificando
dx + N(x,y)
dy = 0, identificando
Esse reconhecimento é importante porque para uma equação ser exata precisamos que ∂M/∂y = ∂N/∂x.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como essas duas não coincidem, a equação não é exata.
Passo 4
Verificamos a possibilidade de um fator integrante μ(x) dependendo só de x. Para isso usamos o critério
Calculamos:
que de fato depende apenas de x.
Passo 5
Obtemos μ(x) integrando:
Integrando ambos os lados:
Então, desprezando a constante multiplicativa, temos