Descreva, em termos de B^-1, as inversas das seguintes matrizes C, caso existam: C é obtida de B trocando as duas primeiras linhas de B.

Passo 1

O enunciado diz que B é invertível e que C se obtém de B trocando as duas primeiras linhas. Queremos escrever C^-1 em função de B^-1. O conteúdo principal aqui é entender como permutar linhas se reflete sobre a inversa, usando matrizes de permutação.

Passo 2

Chamemos de P a matriz de permutação que troca as duas primeiras coordenadas (linhas). Em dimensão n, por exemplo,
P = 0 & 1 & 0 & cdots & 0 1 & 0 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & 1 ,
de modo que permutar as linhas 1 e 2 de B é o mesmo que multiplicar por P à esquerda:
C = P,B

Passo 3

Como P é uma matriz de permutação, temos P^-1=P. Logo, aplicando a regra do inverso de um produto,
C^-1 = (P,B)^-1 = B^-1,P^-1 = B^-1,P

Passo 4

Multiplicar B^-1 à direita por P troca as colunas 1 e 2 de B^-1. Portanto, em termos práticos, C^-1 é exatamente a matriz que se obtém de B^-1 trocando suas duas primeiras colunas.

Resposta

C^-1 = B^-1,P,
ou seja, a inversa de C é a matriz que resulta de B^-1 trocando-se as colunas 1 e 2.

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