Descreva, em termos de , as inversas das seguintes matrizes , caso existam: é obtida de trocando as duas primeiras linhas de .
Passo 1
O enunciado diz que é invertível e que se obtém de trocando as duas primeiras linhas. Queremos escrever em função de . O conteúdo principal aqui é entender como permutar linhas se reflete sobre a inversa, usando matrizes de permutação.
Passo 2
Chamemos de a matriz de permutação que troca as duas primeiras coordenadas (linhas). Em dimensão , por exemplo,
de modo que permutar as linhas 1 e 2 de B é o mesmo que multiplicar por P à esquerda:
C = P,B
Passo 3
Como P é uma matriz de permutação, temos P^-1=P. Logo, aplicando a regra do inverso de um produto,
C^-1 = (P,B)^-1 = B^-1,P^-1 = B^-1,P
Passo 4
Multiplicar B^-1 à direita por P troca as colunas 1 e 2 de B^-1. Portanto, em termos práticos, C^-1 é exatamente a matriz que se obtém de B^-1 trocando suas duas primeiras colunas.
Resposta
C^-1 = B^-1,P,
ou seja, a inversa de C é a matriz que resulta de B^-1 trocando-se as colunas 1 e 2.