Descreva, em termos de
, as inversas das seguintes matrizes
, caso existam:
é obtida de
substituindo a primeira linha de
pela sua soma com a segunda linha.
Passo 1
O enunciado diz que
é invertível e que
é obtida de
aplicando-se à primeira linha de
a operação “linha
linha
linha
”. Queremos expressar
em termos de
. O conteúdo aqui é o uso de matrizes elementares para operações de linha e suas inversas.
Passo 2
A operação “linha
linha
linha
” equivale a multiplicar
à esquerda por uma matriz elementar
onde
é a matriz que tem
na posição
e zeros em todo o resto. Assim,
Passo 3
Como
é invertível (toda operação elementar de linha em matriz invertível gera outra invertível), temos
Passo 4
A inversa de
corresponde à operação contrária “linha
linha
– linha
”, logo
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Em termos das colunas de
, isso significa que
tem:
- primeira coluna igual a
, - segunda coluna igual a
, - demais colunas iguais às de
.
Resposta
ou seja, obtém-se
a partir de
mantendo a primeira coluna e alterando a segunda coluna para
, com as demais colunas inalteradas.