Descreva, em termos de B^-1, as inversas das seguintes matrizes C, caso existam: C é obtida de B substituindo a primeira linha de B pela sua soma com a segunda linha.

Passo 1

O enunciado diz que B é invertível e que C é obtida de B aplicando-se à primeira linha de B a operação “linha 1 to linha 1+ linha 2”. Queremos expressar C^-1 em termos de B^-1. O conteúdo aqui é o uso de matrizes elementares para operações de linha e suas inversas.

Passo 2

A operação “linha 1 to linha 1+ linha 2” equivale a multiplicar B à esquerda por uma matriz elementar
E = I + E1,2,
onde E1,2 é a matriz que tem 1 na posição (1,2) e zeros em todo o resto. Assim,
C = E,B

Passo 3

Como E é invertível (toda operação elementar de linha em matriz invertível gera outra invertível), temos
C^-1 = B^-1,E^-1

Passo 4

A inversa de E = I + E1,2 corresponde à operação contrária “linha 1 to linha 1 – linha 2”, logo
E^-1 = I - E1,2

Passo 5

Substituindo em C^-1 = B^-1E^-1 obtemos
C^-1 = B^-1,(I - E1,2)
Em termos das colunas de B^-1=[,b1;;b2;;b3;dots], isso significa que C^-1 tem:
  • primeira coluna igual a b1,
  • segunda coluna igual a b2 - b1,
  • demais colunas iguais às de B^-1.

Resposta

C^-1 ;=; B^-1,(I - E1,2),
ou seja, obtém-se C^-1 a partir de B^-1 mantendo a primeira coluna e alterando a segunda coluna para b2 - b1, com as demais colunas inalteradas.

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