Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l}x+2 y=4 \\\\ 3 x-y=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x + 2y = 4,\\\\ 3x - y = 5 \end{cases}
e pede a resolução via Regra de Cramer. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes \Delta, depois os determinantes substituídos \Delta_x e \Delta_y e, por fim, obter x e y.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix}.
O determinante principal \Delta de uma matriz 2\times2 é dado por
\Delta = 1\cdot(-1) - 2\cdot 3 = -1 - 6 = -7.

Passo 3

Para \Delta_x, substituímos a primeira coluna de A pelo vetor dos termos independentes \begin{pmatrix}4\\\ 5\end{pmatrix}:
\Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & 2\\\\ 5 & -1 \end{vmatrix} = 4\cdot(-1) - 2\cdot 5 = -4 - 10 = -14.

Passo 4

Para \Delta_y, substituímos a segunda coluna de A pelo mesmo vetor:
\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 4\\\\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 1\cdot 5 - 4\cdot 3 = 5 - 12 = -7.

Passo 5

Aplicando a Regra de Cramer, temos
x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-14}{-7} = 2, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-7}{-7} = 1.

Resposta

x = 2,\; y = 1

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