Descreva todas as possíveis matrizes 2 × 2, que estão na forma escalonada reduzida por linhas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear que pede para descrever todas as matrizes 2 × 2 que estão na forma escalonada reduzida por linhas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a forma escalonada reduzida por linhas (FER), e como aplicar suas regras para matrizes 2 × 2.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é a forma escalonada reduzida por linhas. Uma matriz está na FER se ela satisfaz três condições principais:
- Pivôs na diagonal: Os primeiros números diferentes de zero (chamados de pivôs) de cada linha estão à direita dos pivôs das linhas acima.
- Colunas de pivôs: Cada pivô é o único número diferente de zero na sua coluna.
- Pivôs iguais a 1: Cada pivô é igual a 1.
Vamos aplicar essas regras para encontrar todas as matrizes 2 × 2 que atendem a essas condições.
Passo 3
Vamos considerar uma matriz 2 × 2 genérica na forma:
Agora, vamos aplicar as condições da FER:
- O primeiro pivô (a) deve ser 1.
- O segundo pivô (d) deve ser 1 e estar à direita do primeiro pivô.
- Os elementos abaixo e acima dos pivôs devem ser zero.
Passo 4
Aplicando a primeira condição, temos:
Então, nossa matriz fica:
Agora, aplicamos a segunda condição. O pivô da segunda linha deve ser 1 e estar à direita do primeiro pivô. Isso significa que d = 1 e c = 0 (para que não haja outro número diferente de zero na coluna do segundo pivô).
Então, nossa matriz fica:
Passo 5
Finalmente, a terceira condição exige que os elementos acima e abaixo dos pivôs sejam zero. No nosso caso, já temos c = 0. Para garantir que não haja outros números diferentes de zero na coluna do primeiro pivô, não há restrição adicional, já que a única posição nessa coluna é o c = 0.
Portanto, b pode ser qualquer número real.
Resposta
Todas as matrizes 2 × 2 na forma escalonada reduzida por linhas são da forma:
onde $ b $ é qualquer número real.