Descreva todas as possíveis matrizes 2 times 2 que estão na forma LRFE.

Passo 1

O enunciado pede para listar todas as matrizes 2times2 que já estão em forma reduzida por linhas (LRFE), ou seja, em row-reduced echelon form. Para isso, vamos usar as regras de RREF: cada linha não nula tem pivô igual a 1, cada pivô é o único não nulo em sua coluna, e os pivôs deslocam-se para a direita conforme descemos linhas.

Passo 2

O posto (rank) de uma matriz 2times2 pode ser 0, 1 ou 2. Vamos tratar cada caso separadamente.

Passo 3

Se o posto é 0, não há linhas não nulas, logo a única matriz possível em LRFE é a matriz zero:
0 & 0 0 & 0

Passo 4

Se o posto é 1, aparece exatamente um pivô igual a 1. Esse pivô pode estar:
— Na coluna 1: a forma geral é
1 & b 0 & 0
com b qualquer escalar.
— Na coluna 2: isso ocorre quando a coluna 1 é toda zero, dando
0 & 1 0 & 0

Passo 5

Se o posto é 2, há pivôs em ambas as colunas, e em RREF isso força a matriz a ser a identidade:
1 & 0 0 & 1

Resposta

As matrizes 2times2 em forma LRFE são:
0 & 0 0 & 0
1 & b 0 & 0 para todo binR
0 & 1 0 & 0
1 & 0 0 & 1

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