Descreva todas as possíveis matrizes que estão na forma LRFE.
Passo 1
O enunciado pede para listar todas as matrizes que já estão em forma reduzida por linhas (LRFE), ou seja, em row-reduced echelon form. Para isso, vamos usar as regras de RREF: cada linha não nula tem pivô igual a , cada pivô é o único não nulo em sua coluna, e os pivôs deslocam-se para a direita conforme descemos linhas.
Passo 2
O posto (rank) de uma matriz pode ser , ou . Vamos tratar cada caso separadamente.
Passo 3
Se o posto é , não há linhas não nulas, logo a única matriz possível em LRFE é a matriz zero:
Passo 4
Se o posto é 1, aparece exatamente um pivô igual a 1. Esse pivô pode estar:
— Na coluna 1: a forma geral é
1 & b 0 & 0
com b qualquer escalar.
— Na coluna 2: isso ocorre quando a coluna 1 é toda zero, dando
0 & 1 0 & 0
Passo 5
Se o posto é 2, há pivôs em ambas as colunas, e em RREF isso força a matriz a ser a identidade: