Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes:
A=(lll 1 & 4 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ) B=(llll 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ) C=(rr 1 & -4 0 & 2 ) D=(ll 1 & 0 0 & 1 0 & 0 1 & 2 ) E=(lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede o posto (dimensão da imagem) e a nulidade (dimensão do núcleo) de várias matrizes. Para isso vamos usar eliminação de Gauss para descobrir o número de pivôs (posto) e então aplicar o teorema da dimensão
nulidade = #colunas - posto

Passo 2

Analisando
A = 1 & 4 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ,
já está em forma escalonada com pivôs na coluna 1 (linha 1) e na coluna 3 (linha 2). Logo
posto(A)=2, nulidade(A)=3-2=1

Passo 3

Analisando
B = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ,
já está em forma escalonada com pivôs na coluna 2 e na coluna 4. Logo
posto(B)=2, nulidade(B)=4-2=2

Passo 4

Analisando
C = 1 & -4 0 & 2 ,
é uma matriz 2times2 com determinante 1cdot2-0cdot(-4)=2neq0. Portanto é invertível e
posto(C)=2, nulidade(C)=2-2=0

Passo 5

Analisando
D = 1 & 0 0 & 1 0 & 0 1 & 2 ,
tem duas colunas e elas são linearmente independentes (não uma múltipla da outra). Logo
posto(D)=2, nulidade(D)=2-2=0

Passo 6

Analisando
E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 ,
já em forma escalonada mostra três pivôs (colunas 1, 2 e 3 independentes). Logo
posto(E)=3, nulidade(E)=3-3=0

Resposta

A: posto 2, nulidade 1
B: posto 2, nulidade 2
C: posto 2, nulidade 0
D: posto 2, nulidade 0
E: posto 3, nulidade 0

Exercícios relacionados