Pede: descrever todas as soluções do sistema linear homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} na forma vetorial paramétrica (isto é, escrever o vetor incógnita em função de parâmetros).
Informações importantes extraídas da matriz que vamos usar: cada linha não nula dá uma equação linear para as incógnitas x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6. Vamos usá-las para encontrar as relações entre as variáveis.]
Passo 2
Identificar equações e variáveis pivô / livres:
As linhas não nulas correspondem às equações (uma por linha). Escrevendo-as:
x_1 + 5x_2 + 2x_3 -6x_4 + 9x_5 + 0x_6 = 0
x_3 -7x_4 + 4x_5 -8x_6 = 0
x_6 = 0
Observando os primeiros 1s de cada linha (os pivôs): há pivôs nas colunas 1,3,6. Logo as variáveis pivô são x_1,x_3,x_6.
As demais variáveis x_2,x_4,x_5 são variáveis livres (podem ser tomadas como parâmetros).
Breve explicação (didática, sem jargão): “pivô” é a variável que aparece isolada (com coeficiente 1) no começo de uma linha da forma escalonada; as outras que não têm pivô nessa posição são livres e servem como parâmetros para gerar todas as soluções.
Passo 3
Resolver as equações começando pelas mais simples (bottom-up), mostrando substituições:
Da terceira equação obtemos imediatamente
x_6 = 0.
Substituindo x_6=0 na segunda equação:
x_3 -7x_4 + 4x_5 -8\cdot 0 = 0
ou seja
x_3 -7x_4 + 4x_5 = 0.
Isolando x_3:
x_3 = 7x_4 - 4x_5.
Passo 4
Agora substituir x_3 na primeira equação e isolar x_1:
A primeira equação é
x_1 + 5x_2 + 2x_3 -6x_4 + 9x_5 + 0x_6 = 0.
Substituindo x_3 = 7x_4 - 4x_5 (e lembrando x_6=0):
x_1 + 5x_2 + 2(7x_4 - 4x_5) -6x_4 + 9x_5 = 0.
Fazer as multiplicações e simplificar termo a termo:
2(7x_4 - 4x_5)=14x_4 -8x_5,
então:
x_1 + 5x_2 + 14x_4 -8x_5 -6x_4 + 9x_5 = 0.
Agrupando x_4 e x_5:
14x_4 -6x_4 = 8x_4, \qquad -8x_5 + 9x_5 = x_5,
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x_1 + 5x_2 + 8x_4 + x_5 = 0.
Finalmente isolar x_1:
x_1 = -5x_2 -8x_4 - x_5.
Passo 5
Escolher parâmetros para as variáveis livres e escrever cada componente em função deles:
Definir parâmetros (escolha comum): s = x_2,\; t = x_4,\; u = x_5, com s,t,u\in\mathbb{R}.
Usando as fórmulas que obtivemos:
x_2 = s,\qquad x_4 = t,\qquad x_5 = u,
x_6 = 0,
x_3 = 7x_4 -4x_5 = 7t -4u,
x_1 = -5x_2 -8x_4 - x_5 = -5s -8t - u.
Observação didática: cada solução é totalmente determinada pelos valores de s,t,u; como há três parâmetros livres, o espaço de soluções tem dimensão 3.
Passo 6
Interpretação final em palavras (antes da forma vetorial): a solução geral consiste em todos os vetores \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6) cujas componentes são dadas pelas expressões acima em função de s,t,u. Essas expressões permitem montar a forma vetorial paramétrica pedida.