• Descreva a trajetória de um ponto material nos seguintes casos, considerando um referencial fixo na Terra:
    I. extremidade da hélice de um ventilador acionado e fixo
    II. extremidade da hélice de um avião em voo horizontal relativamente à Terra
    III. ponto na periferia de um pneu de automóvel movendo-se horizontalmente com velocidade constante e sem derrapagem

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva a trajetória (o caminho no espaço, visto do referencial fixo na Terra) de um ponto material em três situações distintas:
I. extremidade da hélice de um ventilador acionado e fixo;
II. extremidade da hélice de um avião em voo horizontal relativamente à Terra;
III. ponto na periferia de um pneu de automóvel movendo-se horizontalmente com velocidade constante e sem derrapagem.
Informações dadas / assumidas explicitamente pelo enunciado:
  • O referencial é fixo na Terra (ou seja, observador estacionário em relação ao solo).
  • No caso I, a hélice do ventilador está fixa no local (o eixo da hélice não se desloca), mas a hélice está acionada (gira).
  • No caso II, a hélice do avião (ou a ponta da pá) gira enquanto o avião se desloca horizontalmente em relação à Terra com velocidade constante.
  • No caso III, o automóvel se move horizontalmente com velocidade constante e há condição “sem derrapagem” (ou seja, o ponto do pneu em contacto com o solo tem velocidade nula relativa ao solo no instante de contacto).
  • Não foram dadas grandezas numéricas (raio da hélice/pneu, velocidade, etc.), então as descrições devem ser em termos dessas grandezas gerais (raio R, velocidade linear v, velocidade angular \omega, etc.).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Trajetória: é a linha (curva) que uma partícula descreve no espaço quando observada num referencial. Para descrever uma trajetória é prático usar uma parametrização por t (tempo): \big(x(t),y(t),z(t)\big).
  • Movimento circular uniforme (no plano): quando um ponto descreve uma circunferência de raio R com velocidade angular constante \omega. Uma parametrização típica, tomando o centro em origem do plano xy, é
x(t)=R\cos(\omega t+\varphi_0),\qquad y(t)=R\sin(\omega t+\varphi_0),
onde \varphi_0 é a fase inicial (ângulo no instante t=0). A velocidade linear (módulo) da partícula é v_{\text{tan}}=\omega R.
  • Composição de movimentos: se um ponto tem ao mesmo tempo um movimento de rotação em torno de um eixo e o conjunto que o contém (por exemplo, uma hélice presa a um corpo) se desloca com velocidade constante, a trajetória absoluta é a soma vetorial desses movimentos. Em particular, a soma de um movimento circular com uma translação uniforme ao longo do eixo da rotação gera uma hélice.
  • Rolamento sem deslizamento: quando um círculo de raio R rola sem derrapar sobre uma linha reta, a velocidade linear do centro v está ligada à velocidade angular \omega pela relação
v=\omega R.
A trajetória de um ponto da periferia, vista do solo, é uma curva chamada cicloide, cuja parametrização em função do ângulo de rotação \theta (que cresce com o tempo) é
x(\theta)=R(\theta-\sin\theta),\qquad y(\theta)=R(1-\cos\theta).
Nas próximas etapas eu aplico esses conceitos a cada caso, explicando com calma cada passo.

Passo 3

Caso I — extremidade da hélice de um ventilador fixo:
  • O enunciado diz que o ventilador está fixo (o eixo não se desloca) e que a hélice está girando. Isso significa que, visto do solo, o centro da hélice fica em posição fixa e a ponta descreve uma circunferência num plano perpendicular ao eixo.
  • Escolho um sistema de eixos simples: centro da hélice na origem do plano xy e eixo de rotação paralelo a z. Tomando R como o raio (distância da extremidade ao eixo) e \omega a velocidade angular (em rad/s), a parametrização da trajetória é a parametrização de um círculo:
x(t)=R\cos(\omega t+\varphi_0),\qquad y(t)=R\sin(\omega t+\varphi_0),\qquad z(t)=\text{const.}
  • Interpretação física e dicas para prova: a trajetória é uma circunferência (curva plana fechada). Se o ventilador estiver no teto com eixo vertical, então o plano da hélice é horizontal e z será constante — a ponta gira numa circunferência horizontal. Se o eixo for diferente, a ponta sempre girará numa circunferência num plano perpendicular ao eixo — mas, porque o eixo é fixo no solo, não há componente de translação, logo não aparece hélice ou outro tipo de curva no referencial da Terra, apenas um círculo.

Passo 4

Caso II — extremidade da hélice de um avião em voo horizontal:
  • Situação física: a hélice gira em torno de um eixo que, para um avião em voo horizontal, normalmente coincide aproximadamente com a direção do avanço do avião (eixo longitudinal). O avião se desloca no espaço, portanto o ponto na extremidade da hélice tem dois movimentos simultâneos: rotação em torno do eixo da hélice e translação do conjunto (do avião) com velocidade constante v ao longo da direção de voo.
  • Modelagem e parametrização: tomo o eixo de voo como eixo x. Seja R o raio da hélice (distância da extremidade ao eixo) e \omega a velocidade angular da hélice. Se o avião se desloca para a frente com velocidade constante v, então a coordenada x do centro da hélice cresce como x_{\text{centro}}(t)=vt (escolhendo origem adequada). Em coordenadas com o centro deslocando-se, a ponta da hélice em relação ao centro descreve um círculo em um plano perpendicular ao eixo x. Assim, uma parametrização conveniente é
x(t)=vt,\qquad y(t)=R\cos(\omega t+\varphi_0),\qquad z(t)=R\sin(\omega t+\varphi_0).
  • Interpretação: essa curva é uma hélice cilíndrica (uma espiral que envolve um cilindro de raio R cujo eixo é a direção do voo). Características que valem decorar:
    • “Passo” da hélice (pitch): distância que a ponta avança ao longo do eixo x durante uma rotação completa. Uma rotação completa tem período T=\dfrac{2\pi}{\omega}, então o passo é p=vT=\dfrac{2\pi v}{\omega}.
    • Sentido (mão) da hélice depende do sinal de \omega e da escolha das componentes y,z.
  • Dica para prova: racionalize a resposta pensando “rotação + translação ao longo do eixo = hélice”. Se o eixo não estiver exatamente paralelo à velocidade do avião, a curva ainda será uma hélice oblíqua (soma de rotação e deslocamento), mas o caso mais comum e pedido é a hélice cilíndrica como acima.

Passo 5

Caso III — ponto na periferia de um pneu que se desloca horizontalmente sem derrapagem:
  • Primeiro, entenda “sem derrapagem” (sem deslizamento): significa que o ponto do pneu em contato instantâneo com o solo tem velocidade igual à velocidade do solo (zero, se o solo é referencial fixo) no instante de contato. Essa condição liga a velocidade linear do centro do pneu v e a velocidade angular \omega do pneu:
v=\omega R,
onde R é o raio do pneu.
  • Agora a construção geométrica da trajetória (derivação passo a passo): vamos obter as equações paramétricas da curva (a cicloide).
    1. Seja \theta o ângulo girado pelo pneu medido a partir de um referencial da roda; \theta está ligado ao tempo por \theta(t)=\omega t+\theta_0. Para um instante simples, vamos usar \theta como parâmetro.
    2. Quando a roda gira de \theta=0 até \theta, o centro da roda desloca-se horizontalmente uma distância igual ao arco percorrido sem deslizamento:
    x_{\text{centro}}(\theta)=R\theta.(Isto vem de v=\omega R e integração: deslocamento = v t = \omega R t = R\theta.)
    3. Em coordenadas com origem no ponto de contato inicial no solo, a posição do centro tem coordenadas \big(R\theta,R\big) (o centro está a uma altura R acima do solo).
    4. A posição do ponto da borda, relativa ao centro, é um vetor de módulo R que forma ângulo \theta com a vertical (se escolhemos a configuração usual). Geometricamente, subtrai-se esse vetor da posição do centro para obter a posição absoluta do ponto. Fazendo as contas (padrão da dedução da cicloide) obtemos a parametrização x(\theta)=R(\theta-\sin\theta),\qquad y(\theta)=R(1-\cos\theta).Essas fórmulas significam: x é a soma da translação do centro R\theta menos a componente horizontal do raio que liga centro à borda ( R\sin\theta); y é a altura do centro R menos a componente vertical do mesmo raio ( R\cos\theta).
  • Propriedades e interpretação física:
    • A curva obtida é a cicloide. Ela tem “cúspides” (pontas agudas voltadas para o solo) nos instantes em que o ponto toca o solo: isso ocorre quando \theta=2\pi n, então y=0 e x=2\pi nR.
    • A velocidade instantânea do ponto em relação ao solo varia: no topo do pneu a velocidade relativa ao solo é 2v (soma da velocidade de translação v com a velocidade tangencial \omega R=v na mesma direção), enquanto no ponto de contato é zero (devido ao não deslizamento).
  • Dica para prova: para justificar “cicloid e” mostre a relação v=\omega R e faça a decomposição centro + vetor do raio; é uma dedução curta e robusta que prova que a curva é exatamente aquela parametrizada acima.

Passo 6

Resumo pedagógico rápido (para fixar na prova):
  • Se o ponto tiver apenas rotação em torno de um eixo fixo (o centro não se desloca), a trajetória no referencial terrestre é uma circunferência (caso I).
  • Se além da rotação o centro do conjunto se desloca uniformemente ao longo do eixo de rotação, a trajetória é uma hélice cilíndrica (caso II); equacione como soma de uma translação uniforme e de uma parametrização circular.
  • Se uma roda/periferia rola sem deslizar, a trajetória de um ponto da periferia vista do solo é uma cicloide, com parametrização \;x=R(\theta-\sin\theta),\;y=R(1-\cos\theta)\; (caso III). Lembre-se da condição v=\omega R.

Resposta

I. Trajetória: circunferência no plano da hélice. Parametrização: \;x(t)=R\cos(\omega t+\varphi_0),\;y(t)=R\sin(\omega t+\varphi_0),\;z=\text{const.}
II. Trajetória: hélice cilíndrica (rotação + translação). Parametrização: \;x(t)=vt,\;y(t)=R\cos(\omega t+\varphi_0),\;z(t)=R\sin(\omega t+\varphi_0).
III. Trajetória: cicloide (rolamento sem deslizamento). Parametrização: \;x(\theta)=R(\theta-\sin\theta),\;y(\theta)=R(1-\cos\theta), com \theta=\omega t e v=\omega R.

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