- Descreva a trajetória de um ponto material nos seguintes casos, considerando um referencial fixo na Terra:
I. extremidade da hélice de um ventilador acionado e fixo
II. extremidade da hélice de um avião em voo horizontal relativamente à Terra
III. ponto na periferia de um pneu de automóvel movendo-se horizontalmente com velocidade constante e sem derrapagem
I. extremidade da hélice de um ventilador acionado e fixo
II. extremidade da hélice de um avião em voo horizontal relativamente à Terra
III. ponto na periferia de um pneu de automóvel movendo-se horizontalmente com velocidade constante e sem derrapagem
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva a trajetória (o caminho no espaço, visto do referencial fixo na Terra) de um ponto material em três situações distintas:
I. extremidade da hélice de um ventilador acionado e fixo;
II. extremidade da hélice de um avião em voo horizontal relativamente à Terra;
III. ponto na periferia de um pneu de automóvel movendo-se horizontalmente com velocidade constante e sem derrapagem.
I. extremidade da hélice de um ventilador acionado e fixo;
II. extremidade da hélice de um avião em voo horizontal relativamente à Terra;
III. ponto na periferia de um pneu de automóvel movendo-se horizontalmente com velocidade constante e sem derrapagem.
Informações dadas / assumidas explicitamente pelo enunciado:
- O referencial é fixo na Terra (ou seja, observador estacionário em relação ao solo).
- No caso I, a hélice do ventilador está fixa no local (o eixo da hélice não se desloca), mas a hélice está acionada (gira).
- No caso II, a hélice do avião (ou a ponta da pá) gira enquanto o avião se desloca horizontalmente em relação à Terra com velocidade constante.
- No caso III, o automóvel se move horizontalmente com velocidade constante e há condição “sem derrapagem” (ou seja, o ponto do pneu em contacto com o solo tem velocidade nula relativa ao solo no instante de contacto).
- Não foram dadas grandezas numéricas (raio da hélice/pneu, velocidade, etc.), então as descrições devem ser em termos dessas grandezas gerais (raio
, velocidade linear , velocidade angular , etc.).
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma didática):
- Trajetória: é a linha (curva) que uma partícula descreve no espaço quando observada num referencial. Para descrever uma trajetória é prático usar uma parametrização por
(tempo): . - Movimento circular uniforme (no plano): quando um ponto descreve uma circunferência de raio
com velocidade angular constante . Uma parametrização típica, tomando o centro em origem do plano , é
onde
é a fase inicial (ângulo no instante
). A velocidade linear (módulo) da partícula é
.
- Composição de movimentos: se um ponto tem ao mesmo tempo um movimento de rotação em torno de um eixo e o conjunto que o contém (por exemplo, uma hélice presa a um corpo) se desloca com velocidade constante, a trajetória absoluta é a soma vetorial desses movimentos. Em particular, a soma de um movimento circular com uma translação uniforme ao longo do eixo da rotação gera uma hélice.
- Rolamento sem deslizamento: quando um círculo de raio
rola sem derrapar sobre uma linha reta, a velocidade linear do centro está ligada à velocidade angular pela relação
A trajetória de um ponto da periferia, vista do solo, é uma curva chamada cicloide, cuja parametrização em função do ângulo de rotação
(que cresce com o tempo) é
Nas próximas etapas eu aplico esses conceitos a cada caso, explicando com calma cada passo.
Passo 3
Caso I — extremidade da hélice de um ventilador fixo:
- O enunciado diz que o ventilador está fixo (o eixo não se desloca) e que a hélice está girando. Isso significa que, visto do solo, o centro da hélice fica em posição fixa e a ponta descreve uma circunferência num plano perpendicular ao eixo.
- Escolho um sistema de eixos simples: centro da hélice na origem do plano
e eixo de rotação paralelo a . Tomando como o raio (distância da extremidade ao eixo) e a velocidade angular (em rad/s), a parametrização da trajetória é a parametrização de um círculo:
- Interpretação física e dicas para prova: a trajetória é uma circunferência (curva plana fechada). Se o ventilador estiver no teto com eixo vertical, então o plano da hélice é horizontal e
será constante — a ponta gira numa circunferência horizontal. Se o eixo for diferente, a ponta sempre girará numa circunferência num plano perpendicular ao eixo — mas, porque o eixo é fixo no solo, não há componente de translação, logo não aparece hélice ou outro tipo de curva no referencial da Terra, apenas um círculo.
Passo 4
Caso II — extremidade da hélice de um avião em voo horizontal:
- Situação física: a hélice gira em torno de um eixo que, para um avião em voo horizontal, normalmente coincide aproximadamente com a direção do avanço do avião (eixo longitudinal). O avião se desloca no espaço, portanto o ponto na extremidade da hélice tem dois movimentos simultâneos: rotação em torno do eixo da hélice e translação do conjunto (do avião) com velocidade constante
ao longo da direção de voo. - Modelagem e parametrização: tomo o eixo de voo como eixo
. Seja o raio da hélice (distância da extremidade ao eixo) e a velocidade angular da hélice. Se o avião se desloca para a frente com velocidade constante , então a coordenada do centro da hélice cresce como (escolhendo origem adequada). Em coordenadas com o centro deslocando-se, a ponta da hélice em relação ao centro descreve um círculo em um plano perpendicular ao eixo . Assim, uma parametrização conveniente é
- Interpretação: essa curva é uma hélice cilíndrica (uma espiral que envolve um cilindro de raio
cujo eixo é a direção do voo). Características que valem decorar: - “Passo” da hélice (pitch): distância que a ponta avança ao longo do eixo
durante uma rotação completa. Uma rotação completa tem período , então o passo é . - Sentido (mão) da hélice depende do sinal de
e da escolha das componentes .
- “Passo” da hélice (pitch): distância que a ponta avança ao longo do eixo
- Dica para prova: racionalize a resposta pensando “rotação + translação ao longo do eixo = hélice”. Se o eixo não estiver exatamente paralelo à velocidade do avião, a curva ainda será uma hélice oblíqua (soma de rotação e deslocamento), mas o caso mais comum e pedido é a hélice cilíndrica como acima.
Passo 5
Caso III — ponto na periferia de um pneu que se desloca horizontalmente sem derrapagem:
- Primeiro, entenda “sem derrapagem” (sem deslizamento): significa que o ponto do pneu em contato instantâneo com o solo tem velocidade igual à velocidade do solo (zero, se o solo é referencial fixo) no instante de contato. Essa condição liga a velocidade linear do centro do pneu
e a velocidade angular do pneu:
onde
é o raio do pneu.
- Agora a construção geométrica da trajetória (derivação passo a passo): vamos obter as equações paramétricas da curva (a cicloide).
- Seja
o ângulo girado pelo pneu medido a partir de um referencial da roda; está ligado ao tempo por . Para um instante simples, vamos usar como parâmetro. - Quando a roda gira de
até , o centro da roda desloca-se horizontalmente uma distância igual ao arco percorrido sem deslizamento:
(Isto vem de e integração: deslocamento = .)
3. Em coordenadas com origem no ponto de contato inicial no solo, a posição do centro tem coordenadas(o centro está a uma altura acima do solo).
4. A posição do ponto da borda, relativa ao centro, é um vetor de móduloque forma ângulo com a vertical (se escolhemos a configuração usual). Geometricamente, subtrai-se esse vetor da posição do centro para obter a posição absoluta do ponto. Fazendo as contas (padrão da dedução da cicloide) obtemos a parametrização Essas fórmulas significam: é a soma da translação do centro menos a componente horizontal do raio que liga centro à borda ( ); é a altura do centro menos a componente vertical do mesmo raio ( ). - Seja
- Propriedades e interpretação física:
- A curva obtida é a cicloide. Ela tem “cúspides” (pontas agudas voltadas para o solo) nos instantes em que o ponto toca o solo: isso ocorre quando
, então e . - A velocidade instantânea do ponto em relação ao solo varia: no topo do pneu a velocidade relativa ao solo é
(soma da velocidade de translação com a velocidade tangencial na mesma direção), enquanto no ponto de contato é zero (devido ao não deslizamento).
- A curva obtida é a cicloide. Ela tem “cúspides” (pontas agudas voltadas para o solo) nos instantes em que o ponto toca o solo: isso ocorre quando
- Dica para prova: para justificar “cicloid e” mostre a relação
e faça a decomposição centro + vetor do raio; é uma dedução curta e robusta que prova que a curva é exatamente aquela parametrizada acima.
Passo 6
Resumo pedagógico rápido (para fixar na prova):
- Se o ponto tiver apenas rotação em torno de um eixo fixo (o centro não se desloca), a trajetória no referencial terrestre é uma circunferência (caso I).
- Se além da rotação o centro do conjunto se desloca uniformemente ao longo do eixo de rotação, a trajetória é uma hélice cilíndrica (caso II); equacione como soma de uma translação uniforme e de uma parametrização circular.
- Se uma roda/periferia rola sem deslizar, a trajetória de um ponto da periferia vista do solo é uma cicloide, com parametrização
(caso III). Lembre-se da condição .
Resposta
I. Trajetória: circunferência no plano da hélice. Parametrização:
II. Trajetória: hélice cilíndrica (rotação + translação). Parametrização:
III. Trajetória: cicloide (rolamento sem deslizamento). Parametrização:
, com
e
.