Descreva como transformar o gráfico de f(x)=x^2 no gráfico das funções dadas.
Faça o esboço de cada gráfico.
g(x)=12(x+2)^2-3

Passo 1

O enunciado pede para obter o gráfico de
g(x)=tfrac12,(x+2)^2-3
a partir do gráfico de
f(x)=x^2
O conteúdo é transformações de função: translação e escala. Vamos aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro fazemos a translação horizontal de 2 unidades para a esquerda, substituindo x por x+2. Isso dá a função intermediária
h(x)=(x+2)^2,
cujo gráfico é f(x)=x^2 deslocado duas unidades para a esquerda.

Passo 3

Em seguida aplicamos a compressão vertical de fator 2, ou seja, multiplicamos os valores de y por tfrac12. Assim obtemos
k(x)=tfrac12,(x+2)^2,
que é o gráfico de h(x) “achatado” verticalmente.

Passo 4

Por fim fazemos a translação vertical de 3 unidades para baixo, subtraindo 3 de k(x). Assim chegamos em
g(x)=tfrac12,(x+2)^2-3

Passo 5

O vértice de f(x) em (0,0) passa para (-2,-3). Pontos notáveis:
g(-4)=tfrac12,( -4+2)^2-3 = -1, g(0)=tfrac12,(0+2)^2-3 = -1,
g(-3)=tfrac12,( -3+2)^2-3 = -2, g(-1)=tfrac12,( -1+2)^2-3 = -2
Agora esboçamos a parábola mais achatada, com vértice em (-2,-3) e passando por esses pontos.

Resposta

As transformações do gráfico de f(x)=x^2 até g(x)=tfrac12,(x+2)^2-3 são, nesta ordem:
1) translação 2 unidades para a esquerda;
2) compressão vertical de fator 2;
3) translação 3 unidades para baixo.
O vértice final está em (-2,-3) e a parábola abre para cima, mais achatada que a original. Esboço aproximado:
  y  
0 | .
| .
- 1 .-----.----.
| .
- 2 | . .
|. .
- 3 o(- 2,- 3)
+----------------
- 4 - 20 x

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