Encontre a solução geral das equações a seguir, na forma y(x)=a0 y1(x)+a1 y2(x) sendo y1 e y2 duas séries de potências L.I. centradas em zero. Calcule o raio de convergência:
y^prime prime-2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''-2y=0
como combinação linear
y(x)=a0,y1(x)+a1,y2(x)
onde y1 e y2 são duas séries de potências L.I. centradas em zero, e ainda calcular o raio de convergência. Para isso, vamos assumir uma solução em série de potências e achar a relação de recorrência entre os coeficientes.

Passo 2

Suponha
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
y''(x)=sumn=0^inftyan+2(n+2)(n+1),x^n
Substituindo em y''-2y=0 obtenho
sumn=0^inftyan+2(n+2)(n+1),x^n -2sumn=0^inftyanx^n=0
Igualando coeficientes de x^n dá a relação de recorrência
an+2=2,an(n+2)(n+1), n>=0

Passo 3

Essa relação separa em dois ramos: os termos de ordem par e os de ordem ímpar são independentes e determinados por a0 e a1. Para k>=0:
a2k+2=2,a2k(2k+2)(2k+1), a2k+3=2,a2k+1(2k+3)(2k+2)
Deduzi-se por indução
a2k=a0,2^,k(2k)!, a2k+1=a1,2^,k(2k+1)!

Passo 4

Assim surgem duas soluções L.I. em série de potências:
y1(x) =sumk=0^infty2^,k(2k)!,x^2k, y2(x) =sumk=0^infty2^,k(2k+1)!,x^2k+1
Logo a solução geral é
y(x)=a0,y1(x)+a1,y2(x)

Passo 5

Para o raio de convergência R, apliquei o teste da razão em cada série. Por exemplo em y1:
limktoinfty |2^,k+1/(2k+2)!2^,k/(2k)!|, |x|^2 =limktoinfty2(2k+2)(2k+1),x^2=0forall x
Isso mostra que R=infty para ambas as séries.

Resposta

A solução geral em séries de potências centradas em zero é
y(x) =a0sumk=0^infty2^,k(2k)!,x^2k ;+; a1sumk=0^infty2^,k(2k+1)!,x^2k+1,
e o raio de convergência é R=infty.

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