Encontre a solução geral das equações a seguir, na forma sendo e duas séries de potências L.I. centradas em zero. Calcule o raio de convergência: .
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
como combinação linear
onde e são duas séries de potências L.I. centradas em zero, e ainda calcular o raio de convergência. Para isso, vamos assumir uma solução em série de potências e achar a relação de recorrência entre os coeficientes.
Passo 2
Suponha
Então
Substituindo em obtenho
Igualando coeficientes de dá a relação de recorrência
Passo 3
Essa relação separa em dois ramos: os termos de ordem par e os de ordem ímpar são independentes e determinados por e . Para :
Deduzi-se por indução
Passo 4
Assim surgem duas soluções L.I. em série de potências:
Logo a solução geral é
Passo 5
Para o raio de convergência , apliquei o teste da razão em cada série. Por exemplo em :
Isso mostra que R=infty para ambas as séries.
Resposta
A solução geral em séries de potências centradas em zero é