Suponha que a equaçăo F(x, y, z)=0 defina implicitamente cada uma das três variáveis x, y e z como funçöes das outras duas: z=f(x, y), y=g(x, z), x=h(y, z). Se F for diferenciável e Fn, F, e F, forem todas naio nulas, mostre que
partial zpartial x partial xpartial y partial ypartial z=-1

Passo 1

O enunciado considera uma função diferenciável F(x,y,z)=0 que, pelo Teorema da Função Implícita, define localmente
z=f(x,y), y=g(x,z) e x=h(y,z), desde que
Fx, Fy e Fz sejam não nulas nos casos apropriados.
Queremos mostrar que as derivadas parciais
partial zpartial x|y,
partial xpartial y|z e
partial ypartial z|x satisfazem
partial zpartial x,partial xpartial y,partial ypartial z=-1
Usaremos diferenciação implícita em cada caso.

Passo 2

Para achar partial zpartial x|y, diferenciamos
F(x,y,z(x,y))=0 em que y é constante. Isto dá
Fx + Fz,partial zpartial xg|y=0
e, como Fzneq0,
partial zpartial xg|y=-FxFz

Passo 3

Para achar partial xpartial y|z, diferenciamos
F(x(y,z),y,z)=0 em que z é constante. Obtemos
Fx,partial xpartial yg|z + Fy =0
e, como Fxneq0,
partial xpartial yg|z=-FyFx

Passo 4

Para achar partial ypartial z|x, diferenciamos
F(x,y(x,z),z)=0 em que x é constante. Resulta
Fy,partial ypartial zg|x + Fz =0
e, como Fyneq0,
partial ypartial zg|x=-FzFy

Passo 5

Multiplicando as três fórmulas:
partial zpartial xg|y; partial xpartial yg|z; partial ypartial zg|x =l(-FxFzr), l(-FyFxr), l(-FzFyr) =(-1)^3=-1

Resposta

partial zpartial x,partial xpartial y,partial ypartial z=-1

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