Descreva como transformar o gráfico de f(x)=x^2 no gráfico das funções dadas.
Faça o esboço de cada gráfico.
h(x)=14 x^2-1

Passo 1

O enunciado quer que a gente pegue a parábola de base
f(x)=x^2
e a transforme para obter
h(x)=14x^2-1
O conteúdo aqui é “transformações de gráficos”: em particular dilatação (ou contração) vertical e translação vertical.

Passo 2

Escrevendo
h(x)=14x^2-1 = 14f(x);-;1,
vemos que há duas etapas:
  1. dilatar verticalmente os pontos de f por fator tfrac14 (cada y vira tfrac14y),
  2. deslocar o resultado 1 unidade para baixo (cada y vira y-1).

Passo 3

Dilatação vertical por tfrac14:
  • Um ponto genérico (x,y) em y=f(x) vai para l(x,tfrac14yr).
  • Exemplo: em f, o ponto (2,4) passa a ser l(2,,tfrac14cdot4r)=(2,1).
    Fisicamente isso “achata” a parábola, tornando-a mais aberta.

Passo 4

Translação vertical de -1:
  • Um ponto (x,y) após a dilatação vai para (x,y-1).
  • O vértice de f, que era (0,0), após dilatação fica (0,0) e após translação passa a (0,-1).

Passo 5

Para esboçar, montamos uma pequena tabela de pontos de h:
c|ccccc x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 hline f(x) & (-2)^2=4 & (-1)^2=1 & 0 & 1 & 4 tfrac14f(x) & tfrac14cdot4=1 & tfrac14cdot1=tfrac14 & 0 & tfrac14 & 1 h(x)=tfrac14f(x)-1 & 1-1=0 & tfrac14-1=-tfrac34 & -1 & -tfrac34 & 0
Isso nos dá pontos-chave de h:
(-2,0),(-1,-tfrac34),(0,-1),(1,-tfrac34),(2,0).
BastA ligar esses pontos com uma curva aberta para cima, vértice em (0,-1), e simétrica em relação ao eixo y.

Resposta

A função h é obtida de f(x)=x^2 por:
  1. contração vertical de fator tfrac14,
  2. translação vertical de -1.
Vértice em (0,-1) e pontos (-2,0),(-1,-tfrac34),(1,-tfrac34),(2,0). Desenhe a parábola mais aberta, deslocada 1 para baixo.

Exercícios relacionados