- Descreva como usamos integrais duplas para calcular áreas e integrais triplas para calcular volumes.
Passo 1
O enunciado pede para descrever como usamos integrais duplas para calcular áreas de regiões no plano e integrais triplas para calcular volumes de sólidos no espaço. O conteúdo é Integração Múltipla, e precisaremos entender a ideia de soma de Riemann em duas e três dimensões, a interpretação geométrica de
e
, e como escolher a função integrando (no caso, a função constante
).
Passo 2
Para ver por que a integral dupla calcula área, partimos da ideia de soma de Riemann em 2D. Se
é a região cuja área queremos, dividimos
em pequenos retângulos de área aproximada
. Em cada retângulo escolhemos um ponto
e formamos a soma
Ao tomar o limite em que o tamanho máximo dos retângulos vai a zero, essa soma converge para a integral
Para obter a área de
, basta escolher
, pois então cada soma aproxima simplesmente a soma das áreas dos retângulos. Logo,
Passo 3
Na prática, aplicamos o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada. Por exemplo, se
então
Esse procedimento facilita o cálculo direto da área a partir das fronteiras de
.
Passo 4
Em seguida, para volume de um sólido
, usamos a mesma ideia em 3D. Dividimos
em prismas ou paralelepípedos pequenos de volume
, escolhemos pontos
e formamos a soma de Riemann
No limite de refinamento, obtemos a integral tripla
Para calcular o volume, tomamos
, de modo que
Passo 5
Também aqui podemos usar Fubini em três variáveis para escrever o volume como integral iterada. Por exemplo, se
então
O cálculo reduz-se à avaliação dessas integrais simples, respeitando as fronteiras do sólido.
Resposta
Para calcular área de uma região
no plano usamos
e, via Fubini, escrevemos como integral iterada em
e
.
Para calcular volume de um sólido
no espaço usamos
e, via Fubini em três variáveis, escrevemos como integral tripla iterada em
,
e
.