1. Descreva como usamos integrais duplas para calcular áreas e integrais triplas para calcular volumes.

Passo 1

O enunciado pede para descrever como usamos integrais duplas para calcular áreas de regiões no plano e integrais triplas para calcular volumes de sólidos no espaço. O conteúdo é Integração Múltipla, e precisaremos entender a ideia de soma de Riemann em duas e três dimensões, a interpretação geométrica de dA e dV, e como escolher a função integrando (no caso, a função constante 1).

Passo 2

Para ver por que a integral dupla calcula área, partimos da ideia de soma de Riemann em 2D. Se D\subset\mathbb{R}^2 é a região cuja área queremos, dividimos D em pequenos retângulos de área aproximada \Delta A. Em cada retângulo escolhemos um ponto (x_i,y_j) e formamos a soma
\sum_{i,j} f(x_i,y_j)\,\Delta A.
Ao tomar o limite em que o tamanho máximo dos retângulos vai a zero, essa soma converge para a integral
\iint_D f(x,y)\,dA.
Para obter a área de D, basta escolher f(x,y)=1, pois então cada soma aproxima simplesmente a soma das áreas dos retângulos. Logo,
\text{Área}(D)=\iint_D 1\,dA.Á

Passo 3

Na prática, aplicamos o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada. Por exemplo, se
D = \{(x,y)\mid a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x)\},
então
\iint_D 1\,dA =\int_{x=a}^{b}\Bigl(\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}1\,dy\Bigr)dx =\int_{a}^{b}\bigl[g_2(x)-g_1(x)\bigr]\,dx.
Esse procedimento facilita o cálculo direto da área a partir das fronteiras de D.

Passo 4

Em seguida, para volume de um sólido \Omega\subset\mathbb{R}^3, usamos a mesma ideia em 3D. Dividimos \Omega em prismas ou paralelepípedos pequenos de volume \Delta V, escolhemos pontos (x_i,y_j,z_k) e formamos a soma de Riemann
\sum_{i,j,k} f(x_i,y_j,z_k)\,\Delta V.
No limite de refinamento, obtemos a integral tripla
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV.
Para calcular o volume, tomamos f(x,y,z)=1, de modo que
\text{Volume}(\Omega)=\iiint_\Omega 1\,dV.

Passo 5

Também aqui podemos usar Fubini em três variáveis para escrever o volume como integral iterada. Por exemplo, se
\Omega=\{(x,y,z)\mid a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x),\; h_1(x,y)\le z\le h_2(x,y)\},
então
\iiint_\Omega 1\,dV =\int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{z=h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}1\,dz\,dy\,dx.
O cálculo reduz-se à avaliação dessas integrais simples, respeitando as fronteiras do sólido.

Resposta

Para calcular área de uma região D no plano usamos
\text{Área}(D)=\iint_D 1\,dAÁ
e, via Fubini, escrevemos como integral iterada em x e y.
Para calcular volume de um sólido \Omega no espaço usamos
\text{Volume}(\Omega)=\iiint_\Omega 1\,dV
e, via Fubini em três variáveis, escrevemos como integral tripla iterada em x, y e z.

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