- Descreva como usamos integrais duplas e triplas para calcular o valor médio de funções no numa região plana ou em um sólido.
Passo 1
O enunciado pede para descrever como calcular o valor médio de uma função num domínio plano e num sólido usando integrais múltiplas. Vamos precisar revisar a ideia de soma de Riemann para definir integrais duplas e triplas, a forma de obter área ou volume por essas integrais e, por fim, a fórmula do valor médio.
Passo 2
Para uma região
no plano, subdividimos
em pequenos pedaços de área
e escolhemos pontos
em cada pedaço. A soma de Riemann aproxima o valor médio por
onde
No limite de refinamento da malha, obtemos a integral dupla e o cálculo da área:
Assim, o valor médio de
em
fica
Passo 3
Para um sólido
em
, fazemos o análogo em três dimensões. Subdividimos
em elementos de volume
com pontos
. A soma de Riemann para o valor médio é
com
No limite, definimos a integral tripla e o volume por
Logo, o valor médio de
em
é
Passo 4
Em ambos os casos, ao calcular as integrais de
e de
podemos usar coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas ou esféricas, conforme a geometria de
ou
. Basta incluir o jacobiano apropriado no elemento de área
ou de volume
.
Resposta
A média de
em uma região plana
é
e a média de
em um sólido
é