1. Descreva como usamos integrais duplas e triplas para calcular o valor médio de funções no numa região plana ou em um sólido.

Passo 1

O enunciado pede para descrever como calcular o valor médio de uma função num domínio plano e num sólido usando integrais múltiplas. Vamos precisar revisar a ideia de soma de Riemann para definir integrais duplas e triplas, a forma de obter área ou volume por essas integrais e, por fim, a fórmula do valor médio.

Passo 2

Para uma região R no plano, subdividimos R em pequenos pedaços de área \Delta A_j e escolhemos pontos (x_j,y_j) em cada pedaço. A soma de Riemann aproxima o valor médio por
\frac{1}{A}\sum_j f(x_j,y_j)\,\Delta A_j,
onde
A = \sum_j \Delta A_j.
No limite de refinamento da malha, obtemos a integral dupla e o cálculo da área:
A=\iint_R dA,
\iint_R f(x,y)\,dA=\lim\sum_j f(x_j,y_j)\,\Delta A_j.
Assim, o valor médio de f em R fica
\overline{f}_R=\frac{1}{A}\iint_R f(x,y)\,dA.

Passo 3

Para um sólido D em \mathbb{R}^3, fazemos o análogo em três dimensões. Subdividimos D em elementos de volume \Delta V_k com pontos (x_k,y_k,z_k). A soma de Riemann para o valor médio é
\frac{1}{V}\sum_k f(x_k,y_k,z_k)\,\Delta V_k,
com
V=\sum_k\Delta V_k.
No limite, definimos a integral tripla e o volume por
V=\iiint_D dV,
\iiint_D f(x,y,z)\,dV=\lim\sum_k f(x_k,y_k,z_k)\,\Delta V_k.
Logo, o valor médio de f em D é
\overline{f}_D=\frac{1}{V}\iiint_D f(x,y,z)\,dV.

Passo 4

Em ambos os casos, ao calcular as integrais de f e de 1 podemos usar coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas ou esféricas, conforme a geometria de R ou D. Basta incluir o jacobiano apropriado no elemento de área dA ou de volume dV.

Resposta

A média de f em uma região plana R é
\overline{f}_R = \frac{1}{\displaystyle\iint_R dA}\,\iint_R f(x,y)\,dA,
e a média de f em um sólido D é
\overline{f}_D = \frac{1}{\displaystyle\iiint_D dV}\,\iiint_D f(x,y,z)\,dV.

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