[2] [2.5 pontos] Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação definida a seguir:
T(x, y, z)=(x+y,-y, z)
Verifique se T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
T: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}
definida por
T(x,y,z) = (x+y,\,-y,\,z).
Queremos verificar se T é linear, isto é, se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos a aditividade. Tomando v_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e v_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}), temos
T(v_{1}+v_{2}) = T(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}) = \bigl((x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2}),\,-(y_{1}+y_{2}),\,z_{1}+z_{2}\bigr)
= (x_{1}+y_{1},\,-y_{1},\,z_{1}) + (x_{2}+y_{2},\,-y_{2},\,z_{2}) = T(v_{1}) + T(v_{2}).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Para \alpha\in \mathbb{R} e (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3},
T(\alpha(x,y,z)) = T(\alpha x,\,\alpha y,\,\alpha z) = (\alpha x + \alpha y,\,-\alpha y,\,\alpha z) = \alpha\,(x+y,\,-y,\,z) = \alpha\,T(x,y,z).

Resposta

A aplicação T satisfaz aditividade e homogeneidade e, portanto, é transformação linear.

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