[3]
(a) [2 pontos] Obtenha a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} tal que T(1,-1,0)=5, T(1,1,0)=1 e T(0,1,1)=-1
(b) [1 ponto] Determine o núcleo da transformação T obtida no item (a).
(c) [0.5 ponto] Encontre a dimensão da imagem da transformação T obtida no item (a). Podemos afirmar que T é sobrejetora?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformação linear
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}
que satisfaz
T(1,-1,0)=5,\quad T(1,1,0)=1,\quad T(0,1,1)=-1.
Em seguida, queremos determinar o núcleo de T e calcular a dimensão da imagem, discutindo se T é sobrejetora. Vamos usar que toda transformação linear T de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R} pode ser escrita como
T(x,y,z)=ax+by+cz
e ajustar os coeficientes a,b,c pelas condições dadas.

Passo 2

Assumimos
T(x,y,z)=ax+by+cz.
Das condições:
  1. T(1,-1,0)=a\cdot1 + b\cdot(-1) + c\cdot0 = a - b = 5.\) 2. \(T(1,1,0)=a + b = 1.\) 3. \(T(0,1,1)=b + c = -1.\) Resolvendo o sistema \[\begin{cases} a - b = 5,\\\ a + b = 1, \end{cases}
temos 2a = 6\Rightarrow a=3\] e \(b=1-3=-2. Substituindo em b+c=-1 -2 + c = -1\Rightarrow c=1.
Logo
T(x,y,z)=3x - 2y + z.

Passo 3

O núcleo de T é o conjunto \{(x,y,z)\mid T(x,y,z)=0\}, isto é
3x - 2y + z = 0.
Reescrevendo z = -3x +2y, qualquer vetor do núcleo é
(x,y,z) = (x,y,-3x+2y) = x\,(1,0,-3) + y\,(0,1,2).
Portanto
\ker(T) = \mathrm{span}\{(1,0,-3),\,(0,1,2)\}.

Passo 4

Como T não é a transformação zero (por exemplo T(1,0,0)=3\neq0), seu posto \dim(\mathrm{Im}\,T) é 1. Como o contradomínio \mathbb{R} também tem dimensão 1, concluímos que \mathrm{Im}\,T=\mathbb{R}. Logo T é sobrejetora.

Resposta

(a) \displaystyle T(x,y,z)=3x-2y+z.
(b) \displaystyle \ker(T)=\{(x,y,-3x+2y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,0,-3),(0,1,2)\}.
(c) \dim(\mathrm{Im}\,T)=1. Sim, T é sobrejetora.

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