[3]
(a) [2 pontos] Obtenha a transformação linear
tal que
e
(b) [1 ponto] Determine o núcleo da transformação
obtida no item (a).
(c) [0.5 ponto] Encontre a dimensão da imagem da transformação
obtida no item (a). Podemos afirmar que
é sobrejetora?
(a) [2 pontos] Obtenha a transformação linear
(b) [1 ponto] Determine o núcleo da transformação
(c) [0.5 ponto] Encontre a dimensão da imagem da transformação
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformação linear
que satisfaz
Em seguida, queremos determinar o núcleo de
e calcular a dimensão da imagem, discutindo se
é sobrejetora. Vamos usar que toda transformação linear
de
em
pode ser escrita como
e ajustar os coeficientes
pelas condições dadas.
Passo 2
Assumimos
Das condições:
temos
. Substituindo em
dá
.
Logo
Passo 3
O núcleo de
é o conjunto
, isto é
Reescrevendo
, qualquer vetor do núcleo é
Portanto
Passo 4
Como
não é a transformação zero (por exemplo
), seu posto
é 1. Como o contradomínio
também tem dimensão 1, concluímos que
. Logo
é sobrejetora.
Resposta
(a)
(b)
(c) . Sim,
é sobrejetora.
(b)
(c)