Descreva Z6 /lang<= 2rang<=. Este quociente é isomorfo a qual anel?

Passo 1

O enunciado pede para descrever o quociente de anéis Z6/lang<= 2rang<= e identificar a qual anel ele é isomorfo. O conteúdo envolvido é teoria de quocientes de anéis, ideal gerado por um elemento em Zn e o Teorema do Isomorfismo de Anéis.

Passo 2

Em Z6, o ideal lang<= 2rang<= é
lang<= 2rang<==,2cdot [k]6 mid kinZ, =[0]6,,[2]6,,[4]6

Passo 3

As classes de equivalência (cosets) em Z6/lang<= 2rang<= são
[0]6+lang<= 2rang<==[0]6,[2]6,[4]6, [1]6+lang<= 2rang<==[1]6,[3]6,[5]6
Logo o quociente tem exatamente duas elementos, que chamaremos de bar0 e bar1.

Passo 4

Defina
varphicolon Z6longrightarrow Z2, varphi([a]6) = [a]2
Essa aplicação é um homomorfismo de anéis, sobrejetivo, e
kervarphi = [a]6 : aequiv 0pmod2 = [0]6,[2]6,[4]6 = lang<= 2rang<=
Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo,
Z6/lang<= 2rang<= cong Z2

Resposta

Z6/lang<= 2rang<= cong Z2

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