Mostre que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, o quociente do anel (ou do grupo aditivo) dos inteiros por
é isomorfo ao anel dos restos módulo
, que chamamos de
.
Conteúdo que vamos usar: definição de homomorfismo canônico, cálculo de núcleo (kernel) e imagem (image) e aplicação do Teorema do Isomorfismo de Grupos/Aneis.
Conteúdo que vamos usar: definição de homomorfismo canônico, cálculo de núcleo (kernel) e imagem (image) e aplicação do Teorema do Isomorfismo de Grupos/Aneis.
Passo 2
Definimos a função
onde
é a classe do inteiro
módulo
. Pela definição de adição em
, temos para quaisquer
:
e de modo semelhante
. Logo
é homomorfismo de grupos abelianos (e de anéis).
Passo 3
Agora determinamos o kernel e a imagem de
.
O \emph{kernel} é
O \emph{kernel} é
A \emph{imagem} é
pois toda classe módulo
tem representante em
. Além disso,
é sobrejetora.
Passo 4
Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo para grupos (ou para anéis), se
é homomorfismo sobrejetor, então
Aplicando a
, obtemos