Mostre que Z /lang<= mrang<= cong Zm para todo m in N^*.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo minN^*, o quociente do anel (ou do grupo aditivo) dos inteiros por lang<= mrang<= é isomorfo ao anel dos restos módulo m, que chamamos de Zm.
Conteúdo que vamos usar: definição de homomorfismo canônico, cálculo de núcleo (kernel) e imagem (image) e aplicação do Teorema do Isomorfismo de Grupos/Aneis.

Passo 2

Definimos a função
varphicolon Zto Zm, varphi(a)=[a]m,
onde [a]m é a classe do inteiro a módulo m. Pela definição de adição em Zm, temos para quaisquer a,binZ:
varphi(a+b)=[,a+b,]m =[a]m+[b]m =varphi(a)+varphi(b),
e de modo semelhante varphi(ab)=[ab]m=[a]m,[b]m=varphi(a),varphi(b). Logo varphi é homomorfismo de grupos abelianos (e de anéis).

Passo 3

Agora determinamos o kernel e a imagem de varphi.
O \emph{kernel} é
kervarphi=,ainZmid [a]m=[0]m =,ainZmid m divide a =mZ =lang<= mrang<=
A \emph{imagem} é
Im,varphi =[a]mmid ainZ =Zm,
pois toda classe módulo m tem representante em Z. Além disso, varphi é sobrejetora.

Passo 4

Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo para grupos (ou para anéis), se psicolon Gto H é homomorfismo sobrejetor, então
G/kerpsi ;cong; H
Aplicando a varphi, obtemos
Z/kervarphi ;cong; Im,varphi Longrightarrow Z/lang<= mrang<= ;cong; Zm

Resposta

Z/lang<= mrang<=congZm via o isomorfismo induzido por varphi(a)=[a]m.

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