Se a é idempotente no anel comutativo A com unidade, mostre que lang<= arang<=+lang<= 1-arang<==A e lang<= arang<= cap lang<= 1-arang<==0.

Passo 1

O enunciado pede para um anel comutativo A com unidade e um elemento ain A tal que
a^2 = a
(propriedade de idempotência), mostrar que os ideais gerados por a e por 1-a satisfazem
lang<= arang<= + lang<= 1-arang<= = A e lang<= arang<= cap lang<= 1-arang<= = 0
Usaremos a definição de soma de ideais ( I+J=x+ymid xin I,yin J), de interseção de ideais e a propriedade de que em anel comutativo basta mostrar que 1 está na soma para concluir que a soma é todo o anel.

Passo 2

Para ver que lang<= arang<= + lang<= 1-arang<= = A, basta exibir 1 como soma de um múltiplo de a e um múltiplo de (1-a). Mas de fato
1 = a + (1 - a),
onde ain lang<= arang<= e 1-ain lang<= 1-arang<=. Logo 1in lang<= arang<= + lang<= 1-arang<= e, pelo fato de 1 gerar todo o anel, segue
lang<= arang<= + lang<= 1-arang<= = A

Passo 3

Agora seja xin lang<= arang<= cap lang<= 1-arang<=. Então existem r,sin A tais que
x = a,r e x = (1-a),s
Multiplicando x=(1-a)s por a, obtemos
a,x = a,(1-a),s = (a - a^2),s = (a - a),s = 0
Por outro lado, como x = a,r, temos
a,x = a,(a,r) = a^2 r = a,r = x
Concluímos x = a,x = 0. Portanto
lang<= arang<= cap lang<= 1-arang<= = 0

Resposta

lang<= arang<= + lang<= 1-arang<= = A e lang<= arang<= cap lang<= 1-arang<= = 0.

Exercícios relacionados