Se
é idempotente no anel comutativo
com unidade, mostre que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para um anel comutativo
com unidade e um elemento
tal que
(propriedade de idempotência), mostrar que os ideais gerados por
e por
satisfazem
Usaremos a definição de soma de ideais (
), de interseção de ideais e a propriedade de que em anel comutativo basta mostrar que
está na soma para concluir que a soma é todo o anel.
Passo 2
Para ver que
, basta exibir
como soma de um múltiplo de
e um múltiplo de
. Mas de fato
onde
e
. Logo
e, pelo fato de
gerar todo o anel, segue
Passo 3
Agora seja
. Então existem
tais que
Multiplicando
por
, obtemos
Por outro lado, como
, temos
Concluímos
. Portanto