O anel (Z times Z) /(2 Z times 3 Z) é isomorfo a qual anel?

Passo 1

O enunciado pede o quociente do anel produto ZtimesZ pelo ideal 2Ztimes3Z. O conteúdo aqui é usar o teorema de isomorfismo para anéis que garante que, ao modular cada fator pelo seu ideal, o quociente do produto se separa em produto dos quocientes.

Passo 2

Note que 2Ztimes3Z é um ideal de ZtimesZ. Pelo isomorfismo de anéis para produto, vale
(ZtimesZ)/(2Ztimes3Z) ;cong; Z/2Z;times;Z/3Z

Passo 3

Portanto, imediatamente obtemos
(ZtimesZ)/(2Ztimes3Z) ;=;Z/2Z;times;Z/3Z

Passo 4

Como 2 e 3 são coprimos, o Teorema Chinês do Resto diz que
Z/2Z;times;Z/3Z ;cong; Z/6Z

Resposta

(ZtimesZ)/(2Ztimes3Z) cong Z/2ZtimesZ/3Z cong Z/6Z

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