Descrever como encontrar a derivada de
.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a derivada de
em função de
.
Informações que temos (explícitas ou implícitas):
Informações que temos (explícitas ou implícitas):
-
é a notação para a função inversa do seno na sua restrição principal; isto é, significa que e que toma valores em . - O domínio natural de
é . - Precisamos encontrar
(a derivada de em relação a ) para pontos onde a derivada existe.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem resolver ainda): usar diferenciação implícita a partir da relação
. Vou explicar tudo sobre por que isso funciona, a regra da cadeia que aparece ao derivar
, e como passar de
para algo que dependa só de
. Não usamos nenhuma hipótese complicada; apenas conhecimentos básicos sobre derivada do seno e a identidade trigonométrica fundamental.
Passo 3
Escrevendo a relação entre
e
: por definição de inversa,
Aqui é importante entender: esta equação diz que
depende de
(porque
), então ao diferenciar ambos os lados em relação a
devemos lembrar que
é função de
.
Passo 4
Derivando ambos os lados em relação a
. À esquerda temos uma composição:
. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
. À direita, a derivada de
é
. Portanto:
Explicando a regra da cadeia de forma bem simples: quando você tem
, a derivada é
. Aqui
e
, logo
e
.
Passo 5
Isolando
na equação acima:
Agora temos a derivada, mas ainda em função de
. O objetivo é expressar tudo em termos de
, porque queremos uma fórmula
(algo em
).
Passo 6
Usar a identidade trigonométrica fundamental para trocar
por uma expressão com
. A identidade é
Como
(pela definição), substituímos:
Tomando a raiz quadrada,
Passo 7
Determinar o sinal correto do
. Lembre que por definição de
escolhemos
no intervalo
. Nesse intervalo o cosseno é não-negativo (ou seja,
). Portanto, para
devemos escolher o sinal positivo:
Essa escolha é crucial — se tivéssemos outra rama da inversa do seno (fora do intervalo principal), o sinal poderia mudar.
Passo 8
Substituindo
em
, obtemos a fórmula final:
Mas atenção: esta expressão só faz sentido quando o denominador é diferente de zero e quando a raiz está definida em reais. Isso significa que a fórmula vale para
.
Passo 9
Análise do domínio e dos pontos extremos: para
temos
, então a derivada tende a infinito (a função tem inclinação vertical nesses extremos) — tecnicamente a derivada não existe em
como número finito. Para
a função
não é definida (no conjunto dos reais).
Passo 10
Breve verificação numérica para ganhar confiança:
- Se
, então . Faz sentido, pois perto de , se comporta quase como . - Se
, então .
Passo 11
Comentário rápido sobre outro método (teorema da função inversa): se
é diferenciável e estritamente monotônica com
, então a derivada da inversa
em
é
. Aplicando com
restrita a
e
,
, obtemos a mesma fórmula: