Descrever como encontrar a derivada de y=\operatorname{arcsen} x.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a derivada de y=\operatorname{arcsen} x em função de x.
Informações que temos (explícitas ou implícitas):
  • \operatorname{arcsen} x é a notação para a função inversa do seno na sua restrição principal; isto é, y=\operatorname{arcsen} x significa que \sin y = x e que y toma valores em \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
  • O domínio natural de \operatorname{arcsen} x é [-1,1].
  • Precisamos encontrar \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x) para pontos onde a derivada existe.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem resolver ainda): usar diferenciação implícita a partir da relação \sin y = x. Vou explicar tudo sobre por que isso funciona, a regra da cadeia que aparece ao derivar \sin y, e como passar de \cos y para algo que dependa só de x. Não usamos nenhuma hipótese complicada; apenas conhecimentos básicos sobre derivada do seno e a identidade trigonométrica fundamental.

Passo 3

Escrevendo a relação entre x e y: por definição de inversa,
\sin y = x.
Aqui é importante entender: esta equação diz que y depende de x (porque y=\operatorname{arcsen} x), então ao diferenciar ambos os lados em relação a x devemos lembrar que y é função de x.

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação a x. À esquerda temos uma composição: \sin(y(x)). A regra da cadeia diz que a derivada de \sin(y(x)) é \cos(y(x))\cdot y'(x). À direita, a derivada de x é 1. Portanto:
\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1.
Explicando a regra da cadeia de forma bem simples: quando você tem f(g(x)), a derivada é f'(g(x))\cdot g'(x). Aqui f(u)=\sin u e g(x)=y(x), logo f'(u)=\cos u e g'(x)=y'(x).

Passo 5

Isolando \dfrac{dy}{dx} na equação acima:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}.
Agora temos a derivada, mas ainda em função de y. O objetivo é expressar tudo em termos de x, porque queremos uma fórmula \dfrac{dy}{dx}= (algo em x).

Passo 6

Usar a identidade trigonométrica fundamental para trocar \cos y por uma expressão com \sin y. A identidade é
\cos^2 y + \sin^2 y = 1.
Como \sin y = x (pela definição), substituímos:
\cos^2 y + x^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad \cos^2 y = 1 - x^2.
Tomando a raiz quadrada,
\cos y = \pm\sqrt{1 - x^2}.

Passo 7

Determinar o sinal correto do \sqrt{\cdot}. Lembre que por definição de \operatorname{arcsen} x escolhemos y no intervalo \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. Nesse intervalo o cosseno é não-negativo (ou seja, \cos y \ge 0). Portanto, para y=\operatorname{arcsen} x devemos escolher o sinal positivo:
\cos y = \sqrt{1 - x^2}.
Essa escolha é crucial — se tivéssemos outra rama da inversa do seno (fora do intervalo principal), o sinal poderia mudar.

Passo 8

Substituindo \cos y em \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y}, obtemos a fórmula final:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.
Mas atenção: esta expressão só faz sentido quando o denominador é diferente de zero e quando a raiz está definida em reais. Isso significa que a fórmula vale para |x|<1.

Passo 9

Análise do domínio e dos pontos extremos: para x=\pm 1 temos 1-x^2=0, então a derivada tende a infinito (a função tem inclinação vertical nesses extremos) — tecnicamente a derivada não existe em x=\pm 1 como número finito. Para |x|>1 a função \operatorname{arcsen} x não é definida (no conjunto dos reais).

Passo 10

Breve verificação numérica para ganhar confiança:
  • Se x=0, então \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0^2}}=1. Faz sentido, pois perto de 0, \operatorname{arcsen} x se comporta quase como x.
  • Se x=\tfrac{1}{2}, então \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{1-(1/2)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3/4}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 11

Comentário rápido sobre outro método (teorema da função inversa): se f é diferenciável e estritamente monotônica com f'(a)\neq 0, então a derivada da inversa f^{-1} em b=f(a) é (f^{-1})'(b)=1/f'(a). Aplicando com f=\sin restrita a \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] e a=y, b=x, obtemos a mesma fórmula:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arcsen} x\big) = \frac{1}{\cos(\operatorname{arcsen} x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dx}\big(\operatorname{arcsen} x\big)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, para |x|<1.

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