Se
representa uma função velocidade no instante
, sendo constantes não nulas "
"
"
", como encontrar as funções aceleração e deslocamento? Encontre-as.
Passo 1
O enunciado dá a função velocidade
onde
e
são constantes não nulas. Perguntas que o problema faz:
- Encontrar a função aceleração (ou seja, a aceleração no instante
). - Encontrar a função deslocamento (ou seja, uma primitiva de
, o espaço percorrido em função de , até uma constante de integração).
Informações relevantes que já temos:
-
é uma constante (amplitude). -
é uma constante (frequência angular, não nula). - A variável independente é
(tempo/instante). - Precisamos aplicar diferenciação para achar aceleração e integração para achar deslocamento.
Passo 2
O que é aceleração aqui? Por definição, aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou ao instante). Em símbolos, se a velocidade é
, a aceleração será
Para derivar
usamos a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia de forma simples: se você tem uma função composta
, então
Aqui podemos ver
e
. Sabemos duas coisas básicas:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (pois é constante).
Agora aplicamos a regra da cadeia passo a passo.
Passo 3
Derivando
usando a regra da cadeia:
Como
é constante, ele sai multiplicando. Aplicando a cadeia:
E
. Portanto:
Esse é o resultado para a aceleração. Se quiser ver de forma mais direta: a derivada de
é
, e multiplicando por
obtemos
.
Passo 4
Agora vamos ao deslocamento (posição) — que é uma primitiva de
. Por definição, uma função deslocamento
satisfaz
Então precisamos encontrar uma antiderivada de
. A técnica padrão é a substituição (u-substituição). Vou ensinar e aplicar.
Passos para integrar
:
- Colocamos a constante
fora da integral:
- Fazemos a substituição
. Então ou . - Substituindo na integral:
- Sabemos que uma primitiva de
é , porque . - Logo,
- Voltando à variável
(lembre que ):
onde
é a constante de integração (posição inicial).
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): se derivarmos
obtemos
porque a derivada de
é
. Assim a primitiva está correta. Bom hábito: sempre faça essa checagem rápida se tiver tempo — ela evita erros bobos.