Se v(x)=a \cdot \operatorname{sen}(b x) representa uma função velocidade no instante x, sendo constantes não nulas " a " e " b ", como encontrar as funções aceleração e deslocamento? Encontre-as.

Passo 1

O enunciado dá a função velocidade
v(x)=a\cdot \operatorname{sen}(b x),
onde a e b são constantes não nulas. Perguntas que o problema faz:
  1. Encontrar a função aceleração (ou seja, a aceleração no instante x).
  2. Encontrar a função deslocamento (ou seja, uma primitiva de v(x), o espaço percorrido em função de x, até uma constante de integração).
Informações relevantes que já temos:
  • a é uma constante (amplitude).
  • b é uma constante (frequência angular, não nula).
  • A variável independente é x (tempo/instante).
  • Precisamos aplicar diferenciação para achar aceleração e integração para achar deslocamento.

Passo 2

O que é aceleração aqui? Por definição, aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou ao instante). Em símbolos, se a velocidade é v(x), a aceleração será
a_{\text{ac}}(x)=\frac{d}{dx}v(x).
Para derivar v(x)=a\cdot \operatorname{sen}(b x) usamos a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia de forma simples: se você tem uma função composta f(x)=g(h(x)), então
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui podemos ver g(u)=\operatorname{sen}(u) e u=h(x)=b x. Sabemos duas coisas básicas:
  • A derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a u é \operatorname{cos}(u).
  • A derivada de b x em relação a x é b (pois b é constante).
Agora aplicamos a regra da cadeia passo a passo.

Passo 3

Derivando v(x) usando a regra da cadeia:
a_{\text{ac}}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot \operatorname{sen}(b x)\bigr).
Como a é constante, ele sai multiplicando. Aplicando a cadeia:
a_{\text{ac}}(x)=a\cdot \bigl(\operatorname{cos}(b x)\bigr)\cdot \frac{d}{dx}(b x).
E \frac{d}{dx}(b x)=b. Portanto:
a_{\text{ac}}(x)=a\cdot b\cdot \operatorname{cos}(b x).
Esse é o resultado para a aceleração. Se quiser ver de forma mais direta: a derivada de \operatorname{sen}(bx) é b\operatorname{cos}(bx), e multiplicando por a obtemos ab\operatorname{cos}(bx).

Passo 4

Agora vamos ao deslocamento (posição) — que é uma primitiva de v(x). Por definição, uma função deslocamento s(x) satisfaz
\frac{d}{dx}s(x)=v(x).
Então precisamos encontrar uma antiderivada de v(x)=a\cdot \operatorname{sen}(b x). A técnica padrão é a substituição (u-substituição). Vou ensinar e aplicar.
Passos para integrar \int a\operatorname{sen}(b x)\,dx:
  1. Colocamos a constante a fora da integral:
\int a\operatorname{sen}(b x)\,dx = a\int \operatorname{sen}(b x)\,dx.
  1. Fazemos a substituição u = b x. Então du = b\,dx ou dx = \dfrac{du}{b}.
  2. Substituindo na integral:
a\int \operatorname{sen}(b x)\,dx = a\int \operatorname{sen}(u)\cdot \frac{du}{b} = \frac{a}{b}\int \operatorname{sen}(u)\,du.
  1. Sabemos que uma primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\operatorname{cos}(u), porque \dfrac{d}{du}\bigl(-\operatorname{cos}(u)\bigr)=\operatorname{sen}(u).
  2. Logo,
\frac{a}{b}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{a}{b}\bigl(-\operatorname{cos}(u)\bigr) + C = -\frac{a}{b}\operatorname{cos}(u) + C.
  1. Voltando à variável x (lembre que u=bx):
s(x) = -\frac{a}{b}\operatorname{cos}(b x) + C,
onde C é a constante de integração (posição inicial).

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): se derivarmos s(x)= -\dfrac{a}{b}\operatorname{cos}(b x)+C obtemos
\frac{d}{dx}s(x) = -\frac{a}{b}\cdot\bigl(-\operatorname{sen}(b x)\bigr)\cdot b = a\operatorname{sen}(b x) = v(x),
porque a derivada de \operatorname{cos}(bx) é -b\operatorname{sen}(bx). Assim a primitiva está correta. Bom hábito: sempre faça essa checagem rápida se tiver tempo — ela evita erros bobos.

Resposta

a_{\text{ac}}(x)=a b\operatorname{cos}(b x)
s(x)=-\dfrac{a}{b}\operatorname{cos}(b x)+C

Exercícios relacionados