Encontre a área entre as curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a área entre as curvas
e
.
Informações dadas: as duas funções são e
. A região pedida é a região limitada por essas curvas (ou seja, a área do “recorte” onde elas se cruzam).
Informações dadas: as duas funções são
Passo 2
Precisamos saber onde as curvas se intersectam (esses pontos vão ser os limites de integração). Como temos
Agora resolvemos a equação (x^{2}=|x|] separando em duas partes.
Para
resolvemos
portanto
ou
.
Para
substituímos
e resolvemos
portanto
ou
. Como aqui assumimos
, o ponto relevante é
(o
já foi encontrado na outra peça).
Conclusão: os pontos de interseção são
,
e
.]
Passo 3
Agora identificamos, em cada intervalo entre interseções, qual função está acima (pois a área entre curvas é a integral da função superior menos a inferior).
Intervalo
: aqui
. Compare
e
. Para
temos
, então
está acima de
.
Intervalo
: aqui
. Compare
e
. Para
por exemplo em
,
e
, logo
. Portanto
também está acima de
nesse intervalo.
Assim, entre
e
a curva
é a superior e
a inferior.
Passo 4
Lembrete teórico rápido e essencial: a área
entre duas curvas
(superior) e
(inferior) no intervalo
é dada por
Isto vem da ideia de somar áreas de retângulos com altura igual à diferença entre as funções e largura
. Aqui usaremos essa fórmula peça a peça onde as expressões das funções são diferentes.
Passo 5
Como
tem expressão diferente à esquerda e à direita de
, podemos montar a integral da área como soma das duas integrais:
Substituindo as expressões peça a peça:
para temos
, e para
temos
. Então
para
Passo 6
Agora calculamos cada integral passo a passo. Primeiro a primária:
Avaliada de
a
:
Calcule a expressão interna:
então
Agora a segunda integral:
Avaliada de
a
:
Calculando:
Passo 7
Somando as duas contribuições:
Observação rápida de verificação: por simetria (as duas curvas e a região são simétricas em relação a
- eixo) poderíamos também ter feito
e chegar ao mesmo resultado, que confirma nosso cálculo.