Encontre a área entre as curvas y=x^{2} e y=|x|.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área entre as curvas y=x^{2} e y=|x|.
Informações dadas: as duas funções são y=x^{2} e y=|x|. A região pedida é a região limitada por essas curvas (ou seja, a área do “recorte” onde elas se cruzam).

Passo 2

Precisamos saber onde as curvas se intersectam (esses pontos vão ser os limites de integração). Como temos |x|\), é útil lembrar a definição peça a peça de \(|x|\): \[|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Agora resolvemos a equação (x^{2}=|x|] separando em duas partes.
Para x\ge 0 resolvemos
x^{2}=x \quad\Rightarrow\quad x^{2}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-1)=0,
portanto x=0 ou x=1.
Para x<0 substituímos |x|=-x e resolvemos
x^{2}=-x \quad\Rightarrow\quad x^{2}+x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x+1)=0,
portanto x=0 ou x=-1. Como aqui assumimos x<0, o ponto relevante é x=-1 (o x=0 já foi encontrado na outra peça).
Conclusão: os pontos de interseção são x=-1, x=0 e x=1.]

Passo 3

Agora identificamos, em cada intervalo entre interseções, qual função está acima (pois a área entre curvas é a integral da função superior menos a inferior).
Intervalo [0,1]: aqui |x|=x. Compare x e x^{2}. Para 0<x<1 temos x^{2}<x, então y=|x|=x está acima de y=x^{2}.
Intervalo [-1,0]: aqui |x|=-x. Compare -x e x^{2}. Para -1<x<0 por exemplo em x=-\tfrac{1}{2}, x^{2}=0{,}25 e -x=0{,}5, logo x^{2}< -x. Portanto y=|x|=-x também está acima de y=x^{2} nesse intervalo.
Assim, entre -1 e 1 a curva y=|x| é a superior e y=x^{2} a inferior.

Passo 4

Lembrete teórico rápido e essencial: a área A entre duas curvas y=f(x) (superior) e y=g(x) (inferior) no intervalo [a,b] é dada por
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Isto vem da ideia de somar áreas de retângulos com altura igual à diferença entre as funções e largura dx. Aqui usaremos essa fórmula peça a peça onde as expressões das funções são diferentes.

Passo 5

Como |x| tem expressão diferente à esquerda e à direita de 0, podemos montar a integral da área como soma das duas integrais:
A=\int_{-1}^{0}\bigl(|x|-x^{2}\bigr)\,dx+\int_{0}^{1}\bigl(|x|-x^{2}\bigr)\,dx.
Substituindo as expressões peça a peça:
para x\in[-1,0] temos |x|=-x, e para x\in[0,1] temos |x|=x. Então
A=\int_{-1}^{0}\bigl(-x-x^{2}\bigr)\,dx+\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 6

Agora calculamos cada integral passo a passo. Primeiro a primária:
\int\bigl(-x-x^{2}\bigr)\,dx=\int -x\,dx+\int -x^{2}\,dx=-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+C.
Avaliada de -1 a 0:
\Bigl[-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{0} =\left(-\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)-\left(-\frac{(-1)^{2}}{2}-\frac{(-1)^{3}}{3}\right) =0-\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right).
Calcule a expressão interna:
-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=-\frac{1}{6},
então
\Bigl[-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{0}=0-(-\tfrac{1}{6})=\tfrac{1}{6}.
Agora a segunda integral:
\int\bigl(x-x^{2}\bigr)\,dx=\int x\,dx-\int x^{2}\,dx=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+C.
Avaliada de 0 a 1:
\Bigl[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\left(\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right) =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}.
Calculando:
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}.

Passo 7

Somando as duas contribuições:
A=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Observação rápida de verificação: por simetria (as duas curvas e a região são simétricas em relação a y- eixo) poderíamos também ter feito A=2\int_{0}^{1}(x-x^{2})\,dx e chegar ao mesmo resultado, que confirma nosso cálculo.

Resposta

\tfrac{1}{3}

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