O modelo diferencial de Gompertz descreve o crescimento em forma de " S ", com crescimento acelerado no início e retardado no final, sendo representado por uma equação diferencial cujo solução é uma função sigmoide. Ele foi originalmente desenvolvido para modelar a mortalidade humana, mas é amplamente usado em biologia para descrever o crescimento tumoral, populacional e outras dinâmicas de crescimento, como o do cristalino humano.
A equação diferencial de Gompertz é: d N / d t=r N \ln (A / N), onde N é a quantidade de células, r é a taxa de crescimento e A é a assíntota ou tamanho máximo que o sistema pode atingir. Resolver este problema.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dN}{dt}=r\,N\ln\!\left(\frac{A}{N}\right),
onde N=N(t) é a quantidade de células (função do tempo), r é uma constante (taxa de crescimento) e A é a assíntota/tamanho máximo possível. O problema pede para “resolver” essa equação — isto é, encontrar a expressão explícita de N(t). Não foi dada uma condição inicial no enunciado; portanto eu vou obter a solução geral e também a solução determinada por uma condição inicial genérica N(0)=N_0 (caso você tenha esse dado na prova, substitua N_0).
Passo 2
Vamos identificar um método prático: essa equação é separável (podemos colocar todos os termos com N de um lado e t do outro). Explico o que é uma equação separável: uma equação da forma \dfrac{dN}{dt}=g(N)\,h(t) permite escrever \dfrac{dN}{g(N)}=h(t)\,dt e integrar os dois lados. Aqui g(N)=rN\ln(A/N) e h(t)=1, então podemos separar as variáveis. Vou fazer isso passo a passo e mostrar as integrais.
Passo 3
Separe as variáveis:
\frac{dN}{N\ln\!\left(\dfrac{A}{N}\right)}=r\,dt.
Agora precisamos integrar o lado esquerdo em relação a N. Para facilitar a integral, faço a substituição
u=\ln\!\left(\frac{A}{N}\right).
Vou explicar essa escolha: o integrando contém \ln(A/N) no denominador e aparece junto com dN/N. Calculando du temos
u=\ln A - \ln N\quad\Rightarrow\quad du=-\frac{dN}{N}.
Assim \dfrac{dN}{N}=-du, e o lado esquerdo se transforma muito simplesmente.
Passo 4
Reescrevendo a integral do lado esquerdo com a substituição: