O modelo diferencial de Gompertz descreve o crescimento em forma de " S ", com crescimento acelerado no início e retardado no final, sendo representado por uma equação diferencial cujo solução é uma função sigmoide. Ele foi originalmente desenvolvido para modelar a mortalidade humana, mas é amplamente usado em biologia para descrever o crescimento tumoral, populacional e outras dinâmicas de crescimento, como o do cristalino humano.
A equação diferencial de Gompertz é: d N / d t=r N \ln (A / N), onde N é a quantidade de células, r é a taxa de crescimento e A é a assíntota ou tamanho máximo que o sistema pode atingir. Resolver este problema.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dN}{dt}=r\,N\ln\!\left(\frac{A}{N}\right),
onde N=N(t) é a quantidade de células (função do tempo), r é uma constante (taxa de crescimento) e A é a assíntota/tamanho máximo possível. O problema pede para “resolver” essa equação — isto é, encontrar a expressão explícita de N(t). Não foi dada uma condição inicial no enunciado; portanto eu vou obter a solução geral e também a solução determinada por uma condição inicial genérica N(0)=N_0 (caso você tenha esse dado na prova, substitua N_0).

Passo 2

Vamos identificar um método prático: essa equação é separável (podemos colocar todos os termos com N de um lado e t do outro). Explico o que é uma equação separável: uma equação da forma \dfrac{dN}{dt}=g(N)\,h(t) permite escrever \dfrac{dN}{g(N)}=h(t)\,dt e integrar os dois lados. Aqui g(N)=rN\ln(A/N) e h(t)=1, então podemos separar as variáveis. Vou fazer isso passo a passo e mostrar as integrais.

Passo 3

Separe as variáveis:
\frac{dN}{N\ln\!\left(\dfrac{A}{N}\right)}=r\,dt.
Agora precisamos integrar o lado esquerdo em relação a N. Para facilitar a integral, faço a substituição
u=\ln\!\left(\frac{A}{N}\right).
Vou explicar essa escolha: o integrando contém \ln(A/N) no denominador e aparece junto com dN/N. Calculando du temos
u=\ln A - \ln N\quad\Rightarrow\quad du=-\frac{dN}{N}.
Assim \dfrac{dN}{N}=-du, e o lado esquerdo se transforma muito simplesmente.

Passo 4

Reescrevendo a integral do lado esquerdo com a substituição:
\frac{dN}{N\ln\!\left(\dfrac{A}{N}\right)} = -\frac{du}{u}.
Então integramos ambos os lados:
\int -\frac{du}{u} = \int r\,dt.
Calcule as integrais:
-\ln|u| = r t + C,
onde C é constante de integração. Volto à variável N substituindo u=\ln\!\left(\dfrac{A}{N}\right):
-\ln\left|\ln\!\left(\frac{A}{N}\right)\right| = r t + C.

Passo 5

Simplifico a expressão para isolar \ln(A/N). Multiplico por -1 e exponencio:
\ln\left|\ln\!\left(\frac{A}{N}\right)\right| = -r t - C.
Definindo C_1 = e^{-C}>0 (sempre podemos combinar constantes desse jeito), exponencio ambos os lados para eliminar o log:
\left|\ln\!\left(\frac{A}{N}\right)\right| = C_1 e^{-r t}.
Na aplicação biológica normalmente temos 0<N<A, então \ln\!\left(\dfrac{A}{N}\right)>0 e podemos remover o valor absoluto:
\ln\!\left(\frac{A}{N}\right) = C_1 e^{-r t}.
Agora resolvo para N. Primeiro exponencio:
\frac{A}{N}=\exp\!\big(C_1 e^{-r t}\big).
Inverto para obter N:
N(t)=A\exp\!\big(-C_1 e^{-r t}\big).
Esta é a forma canônica da solução geral da equação de Gompertz. A constante C_1>0 é determinada pela condição inicial.

Passo 6

Agora imponho uma condição inicial genérica N(0)=N_0 (use isso se sua prova der um valor; se não der, essa é a forma paramétrica). Em t=0 obtemos
N_0 = A\exp\!\big(-C_1 e^{0}\big) = A\exp\!\big(-C_1\big).
Logo
\exp\!\big(-C_1\big) = \frac{N_0}{A}\quad\Rightarrow\quad C_1 = -\ln\!\left(\frac{N_0}{A}\right)=\ln\!\left(\frac{A}{N_0}\right).
Substituindo esse C_1 na solução:
N(t)=A\exp\!\Big(-\ln\!\left(\frac{A}{N_0}\right) e^{-r t}\Big).
Uma forma alternativa e muito útil, obtida usando propriedades de exponencial, é
N(t)=A\left(\frac{N_0}{A}\right)^{e^{-r t}}.
Essa forma mostra claramente que em t=0 temos N(0)=N_0 e que quando t\to\infty o expoente e^{-rt}\to 0 e N(t)\to A.

Passo 7

Interpretação e comportamento (curto e importante para prova): a solução
N(t)=A\exp\!\big(-C_1 e^{-r t}\big)
tem as seguintes propriedades imediatas:
  • Se 0<N_0<A então C_1=\ln(A/N_0)>0 e N(t) cresce de N_0 para A de forma sigmoidal (S): rápido no começo e desacelerando ao se aproximar de A.
  • Limites:
\lim_{t\to\infty}N(t)=A,\qquad \lim_{t\to -\infty}N(t)=0^+.
  • Forma alternativa para uso em provas:
N(t)=A\left(\frac{N_0}{A}\right)^{e^{-r t}}.
Essas formas são equivalentes e você pode escolher a que achar mais conveniente na prova.

Resposta

N(t)=A\exp\!\big(-C e^{-r t}\big) com C>0 constante de integração.\n
Se N(0)=N_0, então C=\ln\!\left(\dfrac{A}{N_0}\right) e
N(t)=A\exp\!\Big(-\ln\!\left(\frac{A}{N_0}\right)e^{-r t}\Big)=A\left(\frac{N_0}{A}\right)^{e^{-r t}}.

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