Descrever as superfícies de nível da função
dada por
Passo 1
O enunciado pede que a gente descreva as superfícies de nível da função
.\n
Informações dadas: a função é .\n
O que devemos fazer: para um valor real qualquer , descrever o conjunto de pontos
, ou seja, caracterizar geometricamente cada nível
.
Informações dadas: a função é
O que devemos fazer: para um valor real qualquer
Passo 2
Definição útil (explicadinha): superfície de nível associada a um número
é o conjunto de pontos onde a função tem valor igual a
. Em notação,
Exemplo rápido e intuitivo: se
, então os níveis
são círculos de raio
. Mesma ideia em 3D: vamos ver o que sai para
.
Passo 3
Escrevemos a equação do nível, substituindo
por uma constante
:
Repare que isso tem a forma padrão de uma esfera em coordenadas cartesianas. A forma padrão de uma esfera é
onde
é o centro e
é o raio.
Passo 4
Comparando as duas equações, identificamos diretamente o centro e o raio (quando fizer sentido):
- centro:
porque os termos estão , - raio:
(em princípio), pois o lado direito é , que corresponde a .
Passo 5
Agora tratamos os casos possíveis do valor de
, lembrando que
para todo
:
-
Se
: não existe ponto que satisfaça a equação, porque soma de quadrados não pode ser negativa. Assim (conjunto vazio). -
Se
: a equação vira Como soma de quadrados só é zero quando cada quadrado é zero, isso força, e , ou seja o único ponto . Portanto — é uma “esfera” de raio zero, ponto degenerado. -
Se
: a equação representa uma esfera com centro e raio . Então é exatamente essa esfera. Exemplo concreto: para temos a esfera de centro e raio .
Passo 6
Observações geométricas extras (úteis para visualizar na prova):
- À medida que
aumenta, as esferas ficam concêntricas e com raio maior: é uma família de esferas centradas no mesmo ponto . - Coordenadas extremas: para uma esfera de raio
, as coordenadas variam entre e . Em particular, quando (ou seja ) a esfera toca o plano em um único ponto . - Se precisar, para qualquer
a interseção com o plano é o círculo dado por (isso veio de substituir na equação).
Resposta
Se
:
.\n
Se :
.\n
Se :
é a esfera de centro
e raio
, dada por
.
Se
Se