Descrever as superfícies de nível da função f=f(x, y, z) dada por
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} .

Passo 1

O enunciado pede que a gente descreva as superfícies de nível da função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}.\n
Informações dadas: a função é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}.\n
O que devemos fazer: para um valor real qualquer k, descrever o conjunto de pontos \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid f(x,y,z)=k\}, ou seja, caracterizar geometricamente cada nível f(x,y,z)=k.

Passo 2

Definição útil (explicadinha): superfície de nível associada a um número k é o conjunto de pontos onde a função tem valor igual a k. Em notação,
S_{k}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid f(x,y,z)=k\}.
Exemplo rápido e intuitivo: se g(x,y)=x^{2}+y^{2}, então os níveis g(x,y)=r^{2} são círculos de raio r. Mesma ideia em 3D: vamos ver o que sai para f.

Passo 3

Escrevemos a equação do nível, substituindo f por uma constante k:
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=k.
Repare que isso tem a forma padrão de uma esfera em coordenadas cartesianas. A forma padrão de uma esfera é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2},
onde (a,b,c) é o centro e R é o raio.

Passo 4

Comparando as duas equações, identificamos diretamente o centro e o raio (quando fizer sentido):
  • centro: (0,0,1) porque os termos estão (x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-1)^{2},
  • raio: R=\sqrt{k} (em princípio), pois o lado direito é k, que corresponde a R^{2}.

Passo 5

Agora tratamos os casos possíveis do valor de k, lembrando que x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\ge 0 para todo (x,y,z):
  • Se k<0: não existe ponto (x,y,z) que satisfaça a equação, porque soma de quadrados não pode ser negativa. Assim S_{k}=\varnothing (conjunto vazio).
  • Se k=0: a equação vira
    x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=0.
    Como soma de quadrados só é zero quando cada quadrado é zero, isso força x=0, y=0 e z-1=0, ou seja o único ponto (0,0,1). Portanto S_{0}=\{(0,0,1)\} — é uma “esfera” de raio zero, ponto degenerado.
  • Se k>0: a equação representa uma esfera com centro (0,0,1) e raio R=\sqrt{k}. Então S_{k} é exatamente essa esfera. Exemplo concreto: para k=1 temos a esfera de centro (0,0,1) e raio 1.

Passo 6

Observações geométricas extras (úteis para visualizar na prova):
  • À medida que k aumenta, as esferas ficam concêntricas e com raio maior: é uma família de esferas centradas no mesmo ponto (0,0,1).
  • Coordenadas extremas: para uma esfera de raio R=\sqrt{k}, as coordenadas z variam entre 1-R e 1+R. Em particular, quando k=1 (ou seja R=1) a esfera toca o plano z=0 em um único ponto (0,0,0).
  • Se precisar, para qualquer k>0 a interseção com o plano z=0 é o círculo dado por x^{2}+y^{2}=k-1 (isso veio de substituir z=0 na equação).

Resposta

Se k<0: S_{k}=\varnothing.\n
Se k=0: S_{0}=\{(0,0,1)\}.\n
Se k>0: S_{k} é a esfera de centro (0,0,1) e raio \sqrt{k}, dada por x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=k.

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