A tabela a seguir apresenta os valores do Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) de 15 municípios brasileiros fictícios.
Município
IDH
Município
IDH
Município
IDH
Aurora
0,710
Dom Silvério
0,720
Jardim Imperial
0,699
Bela Vista
0,693
Esperança
0,678
Lagoa Serena
0,700
Campo Verde
0,701
Flor do Cerrado
0,715
Monte Claro
0,692
Guarani
0,690
Horizonte Azul
0,705
Nova Aliança
0,687
Itaoca
0,685
Paraíso Norte
0,688
Querência Alta
0,709
a) Calcule a amplitude dos valores de IDH apresentados na tabela acima.
A amplitude é dada por: 0,042
b) Calcule a média do IDH dos 15 municípios.
A média é dada por: 0,697
c) Calcule o desvio padrão amostral.
A desvio padrão é dada por: 0,0112
d) Com base nos itens anteriores, calcule o coeficiente de variação (CV). Interprete o resultado obtido.
O coeficiente de Variação é dada por: 1,61
Passo 1
O enunciado apresenta os valores do Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) de 15 municípios (dados retirados da tabela fornecida). As perguntas são:
a) calcular a amplitude dos valores de IDH;
b) calcular a média do IDH dos 15 municípios;
c) calcular o desvio padrão amostral;
d) calcular o coeficiente de variação (CV) e interpretar o resultado.
Os valores (em ordem de aparecimento na tabela) são: \,0,710,\;0,693,\;0,701,\;0,690,\;0,685,\;0,720,\;0,678,\;0,715,\;0,705,\;0,688,\;0,699,\;0,700,\;0,692,\;0,687,\;0,709.
Passo 2
Amplitude: definição e identificação dos extremos. A amplitude (alcance) é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Vou extrair os extremos da tabela: o maior valor é \,0,720 (Dom Silvério) e o menor é \,0,678 (Esperança). Portanto,
\text{Amplitude} = 0,720 - 0,678 = 0,042.
Passo 3
Média: fórmula e cálculo passo a passo. A média aritmética amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações (aqui n=15) e x_i são os valores observados. Primeiro somo todos os IDH (dados da tabela):
\sum_{i=1}^{15} x_i = 10,472.
Agora calculo a média:
\bar{x}=\frac{10,472}{15}=0,698133\ldots
Arredondando para três casas decimais (prática comum em provas): \bar{x}\approx 0,698.
Passo 4
Desvio padrão amostral: explicando a fórmula. O desvio padrão amostral s mede a dispersão dos dados em relação à média e usa a correção de Bessel (divisão por n-1) para não subestimar a variabilidade quando se trabalha com amostra. A fórmula é
Cálculo do desvio padrão e arredondamento. Tomando a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{0,0001451714\ldots}\approx 0,01205.
Arredondando para quatro casas decimais (útil para comparar com resultados de prova): s\approx 0,0120. Observação rápida: o desvio padrão amostral é da ordem de milésimos porque os IDH estão muito próximos entre si.
Passo 7
Coeficiente de variação (CV) e interpretação. O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média, geralmente expressa em percentagem; ele padroniza a variabilidade em relação ao tamanho médio:
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Substituindo s\approx 0,01205 e \bar{x}\approx 0,69813\ldots,
Interpretação (em linguagem de prova e prática): como \text{CV}\approx 1,73\% é um valor pequeno, isso indica que a variação relativa dos IDH entre os 15 municípios é baixa — ou seja, os municípios têm IDH bastante homogêneos (pouca dispersão relativa em relação à média).