Determine as medidas de centralidade (média, mediana e moda) de an correspondentes aos percentuais relacionados na tabela a seguir e construa o boxplot.
Os 20 municípios com menor taxa de analfabetismo no Brasil (%)
Ordem
Município
Taxa de analfabetismo
Primeiro
São João do Oeste (SC)
0,9
Segundo
Morro Reuter (RS)
1,6
Terceiro
Harmonia (RS)
1,8
Quarto
Pomerode (SC)
1,9
Quinto
Bom Princípio (RS)
1,9
Sexto
São Vendelino (RS)
1,9
Sétimo
Feliz (RS)
1,9
Oitavo
Lagoa dos Três Cantos (RS)
2,0
Nono
Salvador das Missões (RS)
2,2
Décimo
Ivoti (RS)
2,3
Décimo primeiro
Quatro Pontes (PR)
2,4
Décimo segundo
Vale Real (RS)
2,5
Décimo terceiro
Timbó (SC)
2,6
Décimo quarto
Dois Irmãos (RS)
2,6
Décimo quinto
Jaraguá do Sul (SC)
2,6
Décimo sexto
São José do Hortêncio (RS)
2,7
Décimo sétimo
Teutônia (RS)
2,7
Décimo oitavo
Blumenau (SC)
2,8
Décimo nono
Linha Nova (RS)
2,8
Vigésimo
Nova Petrópolis (RS)
2,8
| Ordem | Município | Taxa de analfabetismo |
| Primeiro | São João do Oeste (SC) | 0,9 |
| Segundo | Morro Reuter (RS) | 1,6 |
| Terceiro | Harmonia (RS) | 1,8 |
| Quarto | Pomerode (SC) | 1,9 |
| Quinto | Bom Princípio (RS) | 1,9 |
| Sexto | São Vendelino (RS) | 1,9 |
| Sétimo | Feliz (RS) | 1,9 |
| Oitavo | Lagoa dos Três Cantos (RS) | 2,0 |
| Nono | Salvador das Missões (RS) | 2,2 |
| Décimo | Ivoti (RS) | 2,3 |
| Décimo primeiro | Quatro Pontes (PR) | 2,4 |
| Décimo segundo | Vale Real (RS) | 2,5 |
| Décimo terceiro | Timbó (SC) | 2,6 |
| Décimo quarto | Dois Irmãos (RS) | 2,6 |
| Décimo quinto | Jaraguá do Sul (SC) | 2,6 |
| Décimo sexto | São José do Hortêncio (RS) | 2,7 |
| Décimo sétimo | Teutônia (RS) | 2,7 |
| Décimo oitavo | Blumenau (SC) | 2,8 |
| Décimo nono | Linha Nova (RS) | 2,8 |
| Vigésimo | Nova Petrópolis (RS) | 2,8 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar as medidas de centralidade: a média, a mediana e a moda dos percentuais de analfabetismo fornecidos.
- Construir (descrever) o boxplot correspondente aos mesmos dados, ou seja, calcular os quantis necessários, o intervalo interquartil (IQR), as “fences” para detectar outliers, e dizer onde vão os bigodes (whiskers).
As informações dadas são os percentuais (em %) dos vinte municípios, na ordem dada:
Não há ambiguidade nos dados: são exatamente vinte observações, já ordenadas do menor para o maior.
Passo 2
Explico primeiro cada medida que vamos calcular (pequena “aula” antes de fazer as contas), para você conseguir reproduzir isso na prova:
- Média aritmética: é a soma de todas as observações dividida pelo número de observações. Se as observações são
, a média é
Aqui cada
é um percentual (em %). Na prova calcule passo a passo a soma e depois divida por
.
-
Mediana: é o valor central. Para
par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais (os -ésimo e -ésimo). Para ímpar é o valor na posição . -
Moda: é o(s) valor(es) que mais se repetem na amostra. Pode haver zero, uma ou várias modas; aqui veremos o que acontece.
-
Quartis e boxplot: o primeiro quartil
é a mediana da metade inferior dos dados, o terceiro quartil é a mediana da metade superior. O boxplot desenha uma caixa de até com uma linha em (mediana). O IQR é . As “fences” para detectar outliers são
Pontos fora dessas fences são considerados outliers; os bigodes vão até o menor e maior valor que não sejam outliers (aqui, se não houver outliers, os bigodes vão até o min e o max).
Passo 3
Calcular a média passo a passo. Primeiro a soma das observações (vou somar em blocos para facilitar sem calculadora):
Vou somar em etapas (mostrando os acumulados):
Portanto a soma total é
(em %). Agora a média:
Como estamos em notação brasileira com vírgula decimal, escrevemos a média como
.
Dica prática para prova: some em blocos de 5 ou 10 observações para reduzir erro, e mantenha as casas decimais consistentes.
Passo 4
Calcular a mediana. Temos
(par). A mediana é a média entre o 10.º e o 11.º valores (na amostra ordenada). Vamos identificar:
Os valores na posição 10 e 11 (da lista ordenada que já foi dada) são:
Logo a mediana é
Portanto a mediana é
.
Passo 5
Calcular a moda. Contamos frequências (vou listar repetições observadas):
-
aparece 4 vezes. -
aparece 3 vezes. -
aparece 3 vezes.
Outros valores aparecem menos vezes.
A moda é o valor mais frequente, ou seja
. É unimodal neste conjunto (uma única moda).
Passo 6
Calcular os quartis para construir o boxplot. Como
(par), usamos a metade inferior como os primeiros 10 valores e a metade superior como os últimos 10 valores. Liste novamente para clareza:
Metade inferior (posições 1 a 10):
Metade superior (posições 11 a 20):
Para
(mediana da metade inferior) como esse subconjunto tem 10 elementos,
é a média entre o 5.º e o 6.º da metade inferior:
logo
Para
(mediana da metade superior) pegamos a média entre o 5.º e o 6.º da metade superior:
logo
Passo 7
Calcular o IQR e as fences (para ver se há outliers):
As fences são:
Comparando com os extremos dos dados:
Como
e
, não há observações fora das fences — isto é, não há outliers segundo a regra de
IQR. Portanto os bigodes do boxplot vão até o mínimo
e o máximo
.
Passo 8
Resumo de como desenhar o boxplot (passos práticos, para você reproduzir na prova ou no papel):
- No eixo horizontal (ou vertical, como preferir) marque a escala de percentuais cobrindo de pelo menos
a . - Desenhe uma caixa (retângulo) que vai de
até . - Dentro da caixa trace uma linha vertical (ou horizontal, se boxplot vertical) na mediana
. - Desenhe um “bigode” (linha) do lado esquerdo da caixa até o mínimo
e outro bigode do lado direito até o máximo . - Não marque pontos fora da fence, porque não há outliers.
Visualmente: caixa entre
e
, mediana em
, bigodes até
e
.
Resposta
Média:
Mediana:
Moda:
Boxplot (valores-chave):
min
mediana
max
IQR
lower fence (sem outliers)
upper fence (sem outliers)
min
mediana
max
IQR
lower fence
upper fence