Determine as medidas de centralidade (média, mediana e moda) de an correspondentes aos percentuais relacionados na tabela a seguir e construa o boxplot.
Os 20 municípios com menor taxa de analfabetismo no Brasil (%)
Ordem Município Taxa de analfabetismo
Primeiro São João do Oeste (SC) 0,9
Segundo Morro Reuter (RS) 1,6
Terceiro Harmonia (RS) 1,8
Quarto Pomerode (SC) 1,9
Quinto Bom Princípio (RS) 1,9
Sexto São Vendelino (RS) 1,9
Sétimo Feliz (RS) 1,9
Oitavo Lagoa dos Três Cantos (RS) 2,0
Nono Salvador das Missões (RS) 2,2
Décimo Ivoti (RS) 2,3
Décimo primeiro Quatro Pontes (PR) 2,4
Décimo segundo Vale Real (RS) 2,5
Décimo terceiro Timbó (SC) 2,6
Décimo quarto Dois Irmãos (RS) 2,6
Décimo quinto Jaraguá do Sul (SC) 2,6
Décimo sexto São José do Hortêncio (RS) 2,7
Décimo sétimo Teutônia (RS) 2,7
Décimo oitavo Blumenau (SC) 2,8
Décimo nono Linha Nova (RS) 2,8
Vigésimo Nova Petrópolis (RS) 2,8

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar as medidas de centralidade: a média, a mediana e a moda dos percentuais de analfabetismo fornecidos.
  2. Construir (descrever) o boxplot correspondente aos mesmos dados, ou seja, calcular os quantis necessários, o intervalo interquartil (IQR), as “fences” para detectar outliers, e dizer onde vão os bigodes (whiskers).
As informações dadas são os percentuais (em %) dos vinte municípios, na ordem dada:
0,9,\;1,6,\;1,8,\;1,9,\;1,9,\;1,9,\;1,9,\;2,0,\;2,2,\;2,3,\;2,4,\;2,5,\;2,6,\;2,6,\;2,6,\;2,7,\;2,7,\;2,8,\;2,8,\;2,8.
Não há ambiguidade nos dados: são exatamente vinte observações, já ordenadas do menor para o maior.

Passo 2

Explico primeiro cada medida que vamos calcular (pequena “aula” antes de fazer as contas), para você conseguir reproduzir isso na prova:
  • Média aritmética: é a soma de todas as observações dividida pelo número de observações. Se as observações são x_1,x_2,\dots,x_n, a média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui cada x_i é um percentual (em %). Na prova calcule passo a passo a soma e depois divida por n.
  • Mediana: é o valor central. Para n par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais (os \tfrac{n}{2}-ésimo e \tfrac{n}{2}+1-ésimo). Para n ímpar é o valor na posição (n+1)/2.
  • Moda: é o(s) valor(es) que mais se repetem na amostra. Pode haver zero, uma ou várias modas; aqui veremos o que acontece.
  • Quartis e boxplot: o primeiro quartil Q_1 é a mediana da metade inferior dos dados, o terceiro quartil Q_3 é a mediana da metade superior. O boxplot desenha uma caixa de Q_1 até Q_3 com uma linha em Q_2 (mediana). O IQR é Q_3-Q_1. As “fences” para detectar outliers são
\text{lower fence}=Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR},\qquad \text{upper fence}=Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}.
Pontos fora dessas fences são considerados outliers; os bigodes vão até o menor e maior valor que não sejam outliers (aqui, se não houver outliers, os bigodes vão até o min e o max).

Passo 3

Calcular a média passo a passo. Primeiro a soma das observações (vou somar em blocos para facilitar sem calculadora):
\begin{aligned} \text{Soma} &= 0,9+1,6+1,8+1,9+1,9+1,9+1,9+2,0+2,2+2,3 \\\ &\quad +2,4+2,5+2,6+2,6+2,6+2,7+2,7+2,8+2,8+2,8. \end{aligned}
Vou somar em etapas (mostrando os acumulados):
\begin{aligned} 0,9+1,6&=2,5,\\\\ 2,5+1,8&=4,3,\\\\ 4,3+1,9&=6,2,\\\\ 6,2+1,9&=8,1,\\\\ 8,1+1,9&=10,0,\\\\ 10,0+1,9&=11,9,\\\\ 11,9+2,0&=13,9,\\\\ 13,9+2,2&=16,1,\\\\ 16,1+2,3&=18,4,\\\\ 18,4+2,4&=20,8,\\\\ 20,8+2,5&=23,3,\\\\ 23,3+2,6&=25,9,\\\\ 25,9+2,6&=28,5,\\\\ 28,5+2,6&=31,1,\\\\ 31,1+2,7&=33,8,\\\\ 33,8+2,7&=36,5,\\\\ 36,5+2,8&=39,3,\\\\ 39,3+2,8&=42,1,\\\\ 42,1+2,8&=44,9. \end{aligned}
Portanto a soma total é \sum_{i=1}^{20} x_i = 44,9 (em %). Agora a média:
\bar{x}=\frac{44,9}{20}=2,245.
Como estamos em notação brasileira com vírgula decimal, escrevemos a média como \bar{x}=2,245\%.
Dica prática para prova: some em blocos de 5 ou 10 observações para reduzir erro, e mantenha as casas decimais consistentes.

Passo 4

Calcular a mediana. Temos n=20 (par). A mediana é a média entre o 10.º e o 11.º valores (na amostra ordenada). Vamos identificar:
Os valores na posição 10 e 11 (da lista ordenada que já foi dada) são:
\text{10.º}=2,3,\qquad \text{11.º}=2,4.ºº
Logo a mediana é
\text{Mediana}=\frac{2,3+2,4}{2}=\frac{4,7}{2}=2,35.
Portanto a mediana é 2,35\%.

Passo 5

Calcular a moda. Contamos frequências (vou listar repetições observadas):
  • 1,9 aparece 4 vezes.
  • 2,6 aparece 3 vezes.
  • 2,8 aparece 3 vezes.
    Outros valores aparecem menos vezes.
A moda é o valor mais frequente, ou seja 1,9\%. É unimodal neste conjunto (uma única moda).

Passo 6

Calcular os quartis para construir o boxplot. Como n=20 (par), usamos a metade inferior como os primeiros 10 valores e a metade superior como os últimos 10 valores. Liste novamente para clareza:
Metade inferior (posições 1 a 10):
0,9,\;1,6,\;1,8,\;1,9,\;1,9,\;1,9,\;1,9,\;2,0,\;2,2,\;2,3.
Metade superior (posições 11 a 20):
2,4,\;2,5,\;2,6,\;2,6,\;2,6,\;2,7,\;2,7,\;2,8,\;2,8,\;2,8.
Para Q_1 (mediana da metade inferior) como esse subconjunto tem 10 elementos, Q_1 é a média entre o 5.º e o 6.º da metade inferior:
\text{5.º (inf)}=1,9,\qquad \text{6.º (inf)}=1,9,ºº
logo
Q_1=\frac{1,9+1,9}{2}=1,9.
Para Q_3 (mediana da metade superior) pegamos a média entre o 5.º e o 6.º da metade superior:
\text{5.º (sup)}=2,6,\qquad \text{6.º (sup)}=2,7,ºº
logo
Q_3=\frac{2,6+2,7}{2}=\frac{5,3}{2}=2,65.

Passo 7

Calcular o IQR e as fences (para ver se há outliers):
\text{IQR}=Q_3-Q_1=2,65-1,9=0,75.
As fences são:
\text{lower fence}=Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}=1,9-1{,}5\cdot0,75=1,9-1{,}125=0,775,
\text{upper fence}=Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}=2,65+1{,}125=3,775.
Comparando com os extremos dos dados:
\text{mínimo}=0,9,\qquad \text{máximo}=2,8.íá
Como 0,9>0,775 e 2,8<3,775, não há observações fora das fences — isto é, não há outliers segundo a regra de 1{,}5\timesIQR. Portanto os bigodes do boxplot vão até o mínimo 0,9\% e o máximo 2,8\%.

Passo 8

Resumo de como desenhar o boxplot (passos práticos, para você reproduzir na prova ou no papel):
  1. No eixo horizontal (ou vertical, como preferir) marque a escala de percentuais cobrindo de pelo menos 0{,}9\% a 2{,}8\%.
  2. Desenhe uma caixa (retângulo) que vai de Q_1=1,9\% até Q_3=2,65\%.
  3. Dentro da caixa trace uma linha vertical (ou horizontal, se boxplot vertical) na mediana 2,35\%.
  4. Desenhe um “bigode” (linha) do lado esquerdo da caixa até o mínimo 0,9\% e outro bigode do lado direito até o máximo 2,8\%.
  5. Não marque pontos fora da fence, porque não há outliers.
Visualmente: caixa entre 1,9\% e 2,65\%, mediana em 2,35\%, bigodes até 0,9\% e 2,8\%.

Resposta

Média: 2,245\%
Mediana: 2,35\%
Moda: 1,9\%
Boxplot (valores-chave):
min =0,9\%
Q_1=1,9\%
mediana =2,35\%
Q_3=2,65\%
max =2,8\%
IQR =0,75\%
lower fence =0,775\% (sem outliers)
upper fence =3,775\% (sem outliers)

Exercícios relacionados