Describe the motion of a particle with position (x, y) as t varies in the given interval.
x=3+2 cos t, y=1+2 sin t, pi / 2 <= t <= 3 pi / 2

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=3+2cos t, y=1+2sin t,
com t variando em pi/2<= t<= 3pi/2. O conteúdo aqui é reconhecimento de movimento circular e interpretação do intervalo de parâmetros para identificar qual parte da circunferência é percorrida e em que direção.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro para ver a forma da curva. Calculamos
(x-3)^2 + (y-1)^2 = l(2cos tr)^2 + l(2sin tr)^2 =4(cos^2t+sin^2t) =4
Logo a trajetória é a circunferência de centro (3,1) e raio 2.

Passo 3

O intervalo pi/2<= t<= 3pi/2 corresponde ao ângulo polar variando de 90^circ até 270^circ. No círculo padrão isso é exatamente a semicircunferência esquerda, indo do ponto superior ao ponto inferior.

Passo 4

Identificamos os pontos inicial e final e a orientação:
  • Em t=pi/2 temos
x=3+2cos!(tfracpi2)=3, y=1+2sin!(tfracpi2)=3,
ou seja o ponto (3,3).
  • Em t=3pi/2 temos
x=3+2cos!(tfrac3pi2)=3, y=1+2sin!(tfrac3pi2)=-1,
ou seja (3,-1).
Como t cresce, o ângulo polar aumenta no sentido anti-horário, então o movimento vai de cima para baixo pela parte esquerda da circunferência.

Passo 5

Podemos ainda verificar que a velocidade tem módulo constante:
dot x=-2sin t, dot y=2cos t Longrightarrow raizdot x^2+dot y^2 =raiz4sin^2t+4cos^2t =2
Isto mostra que é um movimento circular uniforme de velocidade 2.

Resposta

A partícula descreve, de modo uniforme (velocidade constante de 2), a semicircunferência esquerda da circunferência de centro (3,1) e raio 2, partindo do ponto (3,3) em t=pi/2, passando por (1,1) em t=pi e chegando a (3,-1) em t=3pi/2, no sentido anti-horário.

Exercícios relacionados