Na descrição da teoria de bandas, quais são as exigências essenciais para um sólido ser (a) um metal, (b) um isolante ou (c) um semicondutor?

Passo 1

O enunciado pergunta, na teoria de bandas de sólidos, quais condições básicas no diagrama de bandas (ocupação e tamanho de gap) distinguem um metal, um isolante e um semicondutor. Para isso precisamos lembrar os conceitos de: banda de valência, banda de condução, nível de Fermi \varepsilon_F, e energia de gap E_g, além do critério de comparação entre E_g e a energia térmica k_B T.

Passo 2

Para um sólido se comportar como metal é necessário que haja elétrons disponíveis para condução mesmo a T=0. Isso ocorre se a banda de valência não estiver completamente cheia ou se ela se sobrepuser à banda de condução. Em termos de diagrama de bandas:
\bullet A banda de valência é parcialmente ocupada, ou
\bullet há sobreposição entre banda de valência e banda de condução,
de modo que o nível de Fermi \varepsilon_F cai dentro de uma banda ocupada, fornecendo portadores de carga.

Passo 3

Para um isolante devemos ter a banda de valência totalmente cheia e a banda de condução totalmente vazia em T=0, com um gap proibido bem grande:
E_g = \varepsilon_{\rm fundo\,da\,condução} - \varepsilon_{\rm topo\,da\,valência} \gg k_B T.çãê
Como k_B T (energia térmica ambiente) é muito menor que E_g, não há elétrons suficientes excitados termicamente para a condução. O nível de Fermi \varepsilon_F fica no meio do gap.

Passo 4

Para um semicondutor a situação é idêntica à do isolante em T=0 (banda de valência cheia e de condução vazia), mas com um gap moderado:
E_g \sim \text{alguns eV} \lesssim (5\text{ a }10)\,k_B T.
Assim, a uma temperatura finita há elétrons termicamente excitados da valência para a condução, gerando portadores suficientes para corrente elétrica. O nível de Fermi \varepsilon_F também está dentro do gap, mas a proximidade dele das bordas de banda depende de dopagem.

Resposta

(a) Metal: banda parcialmente preenchida ou bandas sobrepostas, de forma que \varepsilon_F caia dentro de uma banda ocupada.
(b) Isolante: banda de valência cheia, banda de condução vazia e E_g \gg k_B T, de modo que não há excitação térmica de portadores.
(c) Semicondutor: banda de valência cheia, banda de condução vazia e E_g comparável a algumas vezes k_B T, permitindo excitações térmicas de elétrons para condução.

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