Use a Equação E_{f}=\frac{0,121 h^{2}}{m} n^{2 / 3} (energia de Fermi) para verificar que a energia de Fermi do cobre é 7,0 \mathrm{eV}. (Observe que a densidade de portadores de carga do cobre é 8,43 \times 10^{28} \mathrm{~m}^{-3} ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia de Fermi do cobre usando a fórmula da aproximação de elétron livre
E_{f} \;=\;\frac{0,121\,h^{2}}{m}\;n^{2/3}
onde h é a constante de Planck, m é a massa do elétron e n é a densidade de portadores de carga. Sabendo que para o cobre n = 8,43\times10^{28}\,\text{m}^{-3}, vamos precisar também de
\,h=6,626\times10^{-34}\,\text{J\cdots} e \,m=9,11\times10^{-31}\,\text{kg}.

Passo 2

Calcular n^{2/3}. Em display:
n^{2/3} \;=\;(8,43\times10^{28})^{2/3} \;\approx\;1,92\times10^{19}\,\text{m}^{-2}\,.

Passo 3

Avaliar o coeficiente \tfrac{0,121\,h^{2}}{m}. Primeiro h^2:
h^{2} = (6,626\times10^{-34})^{2} \approx 4,39\times10^{-67}\,\text{J}^2\text{s}^2.
Multiplicando por 0,121 e dividindo por m:
\frac{0,121\,h^{2}}{m} = \frac{0,121\times4,39\times10^{-67}}{9,11\times10^{-31}} \approx 5,83\times10^{-38}\,\frac{\text{J}^2\text{s}^2}{\text{kg}}.

Passo 4

Multiplicar esse coeficiente por n^{2/3} para obter E_{f} em joules:
E_{f} = 5,83\times10^{-38}\times1,92\times10^{19} \approx 1,12\times10^{-18}\,\text{J}.

Passo 5

Converter para elétron-volt ( 1\,\text{eV}=1,602\times10^{-19}\,\text{J}):
E_{f} = \frac{1,12\times10^{-18}\,\text{J}}{1,602\times10^{-19}\,\text{J/eV}} \approx 7,0\,\text{eV}.

Resposta

A energia de Fermi do cobre calculada é aproximadamente 7,0\,\text{eV}.

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