Discrimine cuidadosamente, entre as seguintes grandezas que aparecem na equação:
N_{0}(E)=N(E) P(E)
(a) a densidade de estados N(\mathrm{E}), (b) a densidade de estados ocupados N_{o}(\mathrm{E}) e (c) a função probabilidade P(\mathrm{E}).

Passo 1

O enunciado nos apresenta a relação
N_{0}(E)=N(E)\,P(E)
e pede para discriminar:
a) a densidade de estados N(E),
b) a densidade de estados ocupados N_{0}(E) e
c) a função probabilidade P(E).
O conteúdo aqui é mecânica estatística (ou física do estado sólido): vamos explicar o que cada uma dessas grandezas representa fisicamente e quais são suas unidades.

Passo 2

A densidade de estados N(E) é definida como o número de níveis quânticos — ou “estados disponíveis” — por unidade de energia por unidade de volume do sistema. Em outras palavras, se quisermos contar quantos estados existem numa faixa de energia entre E e E+\mathrm{d}E num volume V, temos
\text{nº de estados em }[E,E+\mathrm{d}E]=N(E)\,\mathrm{d}E\;V.º
As unidades de N(E) costumam ser \mathrm{J}^{-1}\mathrm{m}^{-3} (ou \mathrm{eV}^{-1}\mathrm{cm}^{-3}), pois é “estados por energia por volume”.

Passo 3

A função probabilidade P(E) é a probabilidade de ocupação de cada um desses estados de energia E. É uma função adimensional (sem unidade) que varia tipicamente entre 0 e 1. Em diferentes estatísticas temos formas distintas, por exemplo:
P_{\mathrm{FD}}(E)=\frac{1}{\exp\bigl[(E-\mu)/(k_{B}T)\bigr]+1} \quad\text{(Fermi–Dirac)},
P_{\mathrm{MB}}(E)=\exp\bigl[-(E-\mu)/(k_{B}T)\bigr] \quad\text{(Maxwell–Boltzmann)}.

Passo 4

A densidade de estados ocupados N_{0}(E) é simplesmente o produto
N_{0}(E)=N(E)\,P(E),
ou seja, o número de estados efetivamente ocupados por elétrons (ou partículas) por unidade de energia e por volume. Suas unidades são as mesmas de N(E), pois P(E) é adimensional. Fisicamente, se quisermos saber quantos estados ocupados existem no intervalo [E,E+\mathrm{d}E] num volume V, basta usar
N_{0}(E)\,\mathrm{d}E\;V.

Resposta

a) A densidade de estados N(E): número de estados quânticos disponíveis por unidade de energia por unidade de volume; unidades \mathrm{J}^{-1}\mathrm{m}^{-3}.
b) A densidade de estados ocupados N_{0}(E): número de estados que estão efetivamente ocupados por elétrons (ou partículas) por unidade de energia por unidade de volume; obtém-se por N_{0}(E)=N(E)\,P(E).
c) A função probabilidade P(E): probabilidade de ocupação de cada estado de energia E, adimensional, normalmente dada por Fermi–Dirac, Maxwell–Boltzmann, etc.

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