Descubra qual é a EDO que possui as soluções:
Passo 1
O enunciado dá a família de soluções
onde
e
são constantes arbitrárias. A pergunta é: descobrir qual equação diferencial ordinária (EDO) possui exatamente essa família de soluções como solução geral.
Observação sobre a ordem da EDO: quando a solução geral de uma EDO contém exatamente
constantes arbitrárias, isso indica que a EDO é de ordem
. Aqui aparecem duas constantes livremente (
e
), então a EDO procurada deve ser de segunda ordem. Explicando com calma: uma EDO de segunda ordem tem solução geral que depende de duas constantes arbitrárias, por isso devemos buscar uma EDO de ordem 2 cuja solução geral seja a dada.
Motivação do método (por que exponenciais sugerem esse método): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, as soluções costumam ser combinações lineares de exponenciais
, onde
satisfaz a equação característica. Aqui temos soluções exponenciais com expoentes
e
, então faz sentido procurar uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes cuja equação característica tenha raízes
e
.
Passo 2
Construindo a equação característica: se a EDO de segunda ordem tem a forma geral
e testamos uma solução do tipo
, então
e
. Substituindo na EDO obtemos
ou seja, como
,
Essa é a equação característica. Queremos que suas raízes sejam
e
. Logo o polinômio característico pode ser tomado proporcional a
Passo 3
Escolhendo coeficientes da EDO: a equação característica
corresponde à EDO com
,
,
. Assim a EDO candidata é
Passo 4
Verificação direta (mostrar que a solução dada satisfaz a EDO): comece calculando derivadas de
.
Para temos
Para
Calcule
:
Agrupando termos em
e
:
Portanto a família dada satisfaz a EDO proposta.
Passo 5
Comentário final: a EDO encontrada é linear, homogênea e com coeficientes constantes. Observação importante: multiplicar a EDO por qualquer constante não nula dá uma EDO equivalente (mesmas soluções), então a forma mais simples é com coeficiente de
igual a
.