Descubra qual é a EDO que possui as soluções:
y=c_{1} e^{4 x}+c_{2} e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado dá a família de soluções
y = c_{1} e^{4x} + c_{2} e^{-3x}
onde c_{1} e c_{2} são constantes arbitrárias. A pergunta é: descobrir qual equação diferencial ordinária (EDO) possui exatamente essa família de soluções como solução geral.
Observação sobre a ordem da EDO: quando a solução geral de uma EDO contém exatamente n constantes arbitrárias, isso indica que a EDO é de ordem n. Aqui aparecem duas constantes livremente ( c_{1} e c_{2}), então a EDO procurada deve ser de segunda ordem. Explicando com calma: uma EDO de segunda ordem tem solução geral que depende de duas constantes arbitrárias, por isso devemos buscar uma EDO de ordem 2 cuja solução geral seja a dada.
Motivação do método (por que exponenciais sugerem esse método): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, as soluções costumam ser combinações lineares de exponenciais e^{rx}, onde r satisfaz a equação característica. Aqui temos soluções exponenciais com expoentes 4 e -3, então faz sentido procurar uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes cuja equação característica tenha raízes r=4 e r=-3.

Passo 2

Construindo a equação característica: se a EDO de segunda ordem tem a forma geral
a\,y'' + b\,y' + c\,y = 0,
e testamos uma solução do tipo y=e^{rx}, então y' = r e^{rx} e y'' = r^{2} e^{rx}. Substituindo na EDO obtemos
a r^{2} e^{rx} + b r e^{rx} + c e^{rx} = 0,
ou seja, como e^{rx}\neq 0,
a r^{2} + b r + c = 0.
Essa é a equação característica. Queremos que suas raízes sejam r=4 e r=-3. Logo o polinômio característico pode ser tomado proporcional a
(r-4)(r+3) = r^{2} - r - 12.

Passo 3

Escolhendo coeficientes da EDO: a equação característica r^{2}-r-12=0 corresponde à EDO com a=1, b=-1, c=-12. Assim a EDO candidata é
y'' - y' - 12y = 0.

Passo 4

Verificação direta (mostrar que a solução dada satisfaz a EDO): comece calculando derivadas de y.
Para y = c_{1} e^{4x} + c_{2} e^{-3x} temos
y' = 4 c_{1} e^{4x} - 3 c_{2} e^{-3x},
y'' = 16 c_{1} e^{4x} + 9 c_{2} e^{-3x}.
Calcule y'' - y' - 12y:
y'' - y' - 12y = (16 c_{1} e^{4x} + 9 c_{2} e^{-3x}) - (4 c_{1} e^{4x} - 3 c_{2} e^{-3x}) - 12(c_{1} e^{4x} + c_{2} e^{-3x}).
Agrupando termos em e^{4x} e e^{-3x}:
= \big(16-4-12\big) c_{1} e^{4x} + \big(9+3-12\big) c_{2} e^{-3x} = 0\cdot c_{1} e^{4x} + 0\cdot c_{2} e^{-3x} = 0.
Portanto a família dada satisfaz a EDO proposta.

Passo 5

Comentário final: a EDO encontrada é linear, homogênea e com coeficientes constantes. Observação importante: multiplicar a EDO por qualquer constante não nula dá uma EDO equivalente (mesmas soluções), então a forma mais simples é com coeficiente de y'' igual a 1.

Resposta

y'' - y' - 12y = 0

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