Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos.
Passo 1
O enunciado pede: descobrir a lógica de formação da sequência dada e achar os dois próximos termos. A sequência fornecida é:
Informações explícitas do enunciado:
- Os termos fornecidos, na ordem, são
. - É solicitado encontrar os dois termos imediatamente seguintes da sequência.
Passo 2
Vamos procurar um padrão direto olhando cada número. Comparar cada termo com potências inteiras é uma boa ideia quando os números crescem rápido. Teste simples:
Ou seja, cada termo coincide com um cubo perfeito. Explicando o que é “cubo”: para um inteiro
, o “cubo” é
. Exemplos rápidos:
Passo 3
A partir da observação acima, podemos propor a fórmula geral para o
-ésimo termo da sequência (assumindo que o primeiro termo corresponde a
):
Aqui
significa “o
-ésimo termo da sequência” e
é um inteiro positivo que indica a posição do termo (por exemplo,
,
, etc.). Usando essa fórmula, os próximos termos são:
Passo 4
Para consolidar a certeza, vou mostrar um método alternativo (útil em prova quando o padrão não é óbvio): diferenças finitas. Pegue a sequência:
Calcule as diferenças sucessivas:
Primeiras diferenças:
ou seja
Segundas diferenças:
ou seja
Terceira diferença:
Quando a terceira diferença é constante (aqui vale
), isso indica que a sequência é gerada por um polinômio de grau
— o que é coerente com
. Além disso, podemos estender as diferenças para obter os próximos termos sem saber a fórmula diretamente.
Passo 5
Estendendo as diferenças passo a passo (usando que a terceira diferença permanece
):
- Próxima segunda diferença:
. - Próxima primeira diferença:
. - Próximo termo:
.
Agora repetimos uma vez para obter o termo seguinte:
- Próxima segunda diferença:
. - Próxima primeira diferença:
. - Próximo termo:
.
Isso confirma os valores obtidos pela regra dos cubos.
Passo 6
Resumo didático rápido para a hora da prova:
- Verifique potências pequenas (quadrados, cubos) quando os termos crescem rápido.
- Se não for óbvio, calcule diferenças sucessivas; o grau do polinômio gerador é o primeiro nível de diferença constante.
- Aqui os termos são cubos perfeitos e a fórmula é
. Calcula-se e mentalmente como mostrado.