Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos.
(1,8,27,64, \ldots)

Passo 1

O enunciado pede: descobrir a lógica de formação da sequência dada e achar os dois próximos termos. A sequência fornecida é:
(1,8,27,64,\ldots)
Informações explícitas do enunciado:
  • Os termos fornecidos, na ordem, são \;1,\;8,\;27,\;64.
  • É solicitado encontrar os dois termos imediatamente seguintes da sequência.

Passo 2

Vamos procurar um padrão direto olhando cada número. Comparar cada termo com potências inteiras é uma boa ideia quando os números crescem rápido. Teste simples:
1=1^3,\qquad 8=2^3,\qquad 27=3^3,\qquad 64=4^3.
Ou seja, cada termo coincide com um cubo perfeito. Explicando o que é “cubo”: para um inteiro k, o “cubo” é k^3=k\cdot k\cdot k. Exemplos rápidos:
5^3=5\cdot5\cdot5=25\cdot5=125, \qquad 6^3=6\cdot6\cdot6=36\cdot6=216.

Passo 3

A partir da observação acima, podemos propor a fórmula geral para o n-ésimo termo da sequência (assumindo que o primeiro termo corresponde a n=1):
a_n=n^3.
Aqui a_n significa “o n-ésimo termo da sequência” e n é um inteiro positivo que indica a posição do termo (por exemplo, a_1=1^3, a_2=2^3, etc.). Usando essa fórmula, os próximos termos são:
a_5=5^3=125,\qquad a_6=6^3=216.

Passo 4

Para consolidar a certeza, vou mostrar um método alternativo (útil em prova quando o padrão não é óbvio): diferenças finitas. Pegue a sequência:
1,\;8,\;27,\;64.
Calcule as diferenças sucessivas:
Primeiras diferenças:
8-1=7,\qquad 27-8=19,\qquad 64-27=37,
ou seja
7,\;19,\;37.
Segundas diferenças:
19-7=12,\qquad 37-19=18,
ou seja
12,\;18.
Terceira diferença:
18-12=6.
Quando a terceira diferença é constante (aqui vale 6), isso indica que a sequência é gerada por um polinômio de grau 3 — o que é coerente com a_n=n^3. Além disso, podemos estender as diferenças para obter os próximos termos sem saber a fórmula diretamente.

Passo 5

Estendendo as diferenças passo a passo (usando que a terceira diferença permanece 6):
  • Próxima segunda diferença: 18+6=24.
  • Próxima primeira diferença: 37+24=61.
  • Próximo termo: 64+61=125.
Agora repetimos uma vez para obter o termo seguinte:
  • Próxima segunda diferença: 24+6=30.
  • Próxima primeira diferença: 61+30=91.
  • Próximo termo: 125+91=216.
Isso confirma os valores obtidos pela regra dos cubos.

Passo 6

Resumo didático rápido para a hora da prova:
  • Verifique potências pequenas (quadrados, cubos) quando os termos crescem rápido.
  • Se não for óbvio, calcule diferenças sucessivas; o grau do polinômio gerador é o primeiro nível de diferença constante.
  • Aqui os termos são cubos perfeitos e a fórmula é a_n=n^3. Calcula-se 5^3 e 6^3 mentalmente como mostrado.

Resposta

125,\\\ 216

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