Descubra partial zpartial x e partial zpartial y quando z é dado implicitamente em termos de x e y pelas equações abaixo:
x+y+z=cos (x+y+z)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita x + y + z = cos(x+y+z) e pede as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y. O conteúdo aqui é diferenciação implícita para funções definidas por F(x,y,z)=0. Vamos usar a fórmula
Fx + Fz partial zpartial x = 0
e a análoga para y.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x+y+z-cos(x+y+z)
Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx=1-l(-sin(x+y+z)r)=1+sin(x+y+z),
Fy=1+sin(x+y+z),
Fz=1+sin(x+y+z)
Aqui usamos que a derivada de cos(u) em relação a u é -sin(u) e aplicamos a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de diferenciação implícita:
Para x:
partial zpartial x=-FxFz=-1+sin(x+y+z)1+sin(x+y+z)=-1
Para y:
partial zpartial y=-FyFz=-1+sin(x+y+z)1+sin(x+y+z)=-1

Resposta

partial zpartial x=-1 e partial zpartial y=-1.

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