Descubra quanto valem as constantes a, b, c \mathrm{e} d.
\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right) *\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\\\ 1 & 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade entre duas matrizes por multiplicação. As matrizes fornecidas são:
  • Matriz desconhecida X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right).
  • Matriz conhecida M=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{array}\right).
  • Produto informado igual à matriz identidade I=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right).
O enunciado pede: descobrir os valores de \,a\,,\,b\,,\,c e \,d tais que
X * M = I.]

Passo 2

Entendimento do que a igualdade significa (aula rápida e prática):
  • A equação \;X M = I\; diz que a matriz X é a inversa da matriz M. Em outras palavras, X = M^{-1}, desde que M seja invertível.
  • Para matrizes 2\times2, existe uma fórmula direta para a inversa. Se
A=\left(\begin{array}{ll}p & q \\[4pt] r & s\end{array}\right),
então, se o determinante \det(A)=ps-qr for diferente de zero, a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{ps-qr}\left(\begin{array}{cc}s & -q \\[4pt] -r & p\end{array}\right).
Explicando por que essa fórmula funciona (rápido): multiplicando A por essa matriz do lado direito dá a identidade porque os termos se combinam de modo que as somas cruzadas cancelam e os produtos das diagonais aparecem divididos pelo determinante; é a versão matricial do cálculo da inversa para 2\times2.]

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso concreto. Primeiro calculamos o determinante de M=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{array}\right):
\det(M)=2\cdot4-3\cdot1=8-3=5.
Como \det(M)=5\neq0, a inversa existe e podemos usar a fórmula.]

Passo 4

Usando a fórmula da inversa para 2\times2:
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\left(\begin{array}{cc}4 & -3 \\[4pt] -1 & 2\end{array}\right) =\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}4 & -3 \\[4pt] -1 & 2\end{array}\right).
Portanto os elementos da matriz X=M^{-1} são:
a=\frac{4}{5},\qquad b=-\frac{3}{5},\qquad c=-\frac{1}{5},\qquad d=\frac{2}{5}.]

Passo 5

Verificação explícita do produto X M para ficar 100% seguro (passo a passo com contas):
Escrevendo X=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}4 & -3 \\[4pt] -1 & 2\end{array}\right) e M=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{array}\right), o produto XM é
XM=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc} 4\cdot2+(-3)\cdot1 & 4\cdot3+(-3)\cdot4 \\[4pt] (-1)\cdot2+2\cdot1 & (-1)\cdot3+2\cdot4 \end{array}\right).
Calculando cada entrada:
  • Entrada (1,1): 4\cdot2+(-3)\cdot1=8-3=5. Dividindo por 5 1.
  • Entrada (1,2): 4\cdot3+(-3)\cdot4=12-12=0. Dividindo por 5 0.
  • Entrada (2,1): (-1)\cdot2+2\cdot1=-2+2=0. Dividindo por 5 0.
  • Entrada (2,2): (-1)\cdot3+2\cdot4=-3+8=5. Dividindo por 5 1.
Assim
XM=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right)=I,
confirmação completa de que os valores encontrados estão corretos.]

Resposta

a=\dfrac{4}{5}
b=-\dfrac{3}{5}
c=-\dfrac{1}{5}
d=\dfrac{2}{5}

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