A tarefa é calcular A^{-1} pelo processo de Jordan (ou seja, transformar [A \mid I] em [I \mid A^{-1}] usando operações elementares de linha).]
Passo 2
Explicação didática do método (curta e prática): o método de Gauss–Jordan consiste em montar a matriz aumentada [A\mid I], aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não zero, somar múltiplos de uma linha a outra) até que o bloco esquerdo vire a matriz identidade I. Quando isso ocorrer, o bloco direito será a inversa A^{-1}.
Observação importante: a matriz tem inversa somente se for invertível. Uma forma rápida de checar invertibilidade em 2\times2 é calcular o determinante. Vou verificar o determinante para confirmar que podemos prosseguir:
\det(A)=2\cdot4-3\cdot1=8-3=5\neq0.
Como \det(A)\neq0, a inversa existe e podemos usar Gauss–Jordan.
Comentário: multiplicar uma linha por escalar não nulo é uma operação elementar que preserva o espaço das soluções (no nosso objetivo transforma a coluna de pivô em 1).]
Passo 5
Eliminar o elemento abaixo do pivô (transformar o elemento (2,1) em 0). Operação: subtrair a linha 1 da linha 2:
Eliminar o elemento acima do pivô (transformar o elemento (1,2) em 0). Operação: subtrair \tfrac{3}{2} vezes a linha 2 da linha 1:
R_1\leftarrow R_1-\tfrac{3}{2}R_2.
Cálculos para o bloco direito da linha 1:
Primeiro elemento: \tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{5}\right)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{10}=\tfrac{5}{10}+\tfrac{3}{10}=\tfrac{8}{10}=\tfrac{4}{5}.
Segundo elemento: 0-\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{2}{5}=0-\tfrac{3}{5}=-\tfrac{3}{5}.
O bloco esquerdo fica \left(\begin{smallmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{smallmatrix}\right). Assim obtemos: