Determine a matriz inversa da matriz abaixo pelo processo de jordan.
\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede para determinar a matriz inversa usando o processo de Jordan (Gauss–Jordan):
A=\left(\begin{array}{cc} 2 & 3\\[4pt] 1 & 4 \end{array}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz é 2\times2.
  • A tarefa é calcular A^{-1} pelo processo de Jordan (ou seja, transformar [A \mid I] em [I \mid A^{-1}] usando operações elementares de linha).]

Passo 2

Explicação didática do método (curta e prática): o método de Gauss–Jordan consiste em montar a matriz aumentada [A\mid I], aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não zero, somar múltiplos de uma linha a outra) até que o bloco esquerdo vire a matriz identidade I. Quando isso ocorrer, o bloco direito será a inversa A^{-1}.
Observação importante: a matriz tem inversa somente se for invertível. Uma forma rápida de checar invertibilidade em 2\times2 é calcular o determinante. Vou verificar o determinante para confirmar que podemos prosseguir:
\det(A)=2\cdot4-3\cdot1=8-3=5\neq0.
Como \det(A)\neq0, a inversa existe e podemos usar Gauss–Jordan.

Passo 3

Montar a matriz aumentada [A\mid I]:
\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 4

Objetivo: obter pivô 1 na primeira linha, primeira coluna. Operação: dividir a primeira linha por 2:
R_1\leftarrow \tfrac{1}{2}R_1.
Resultado:
\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 1 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right).
Comentário: multiplicar uma linha por escalar não nulo é uma operação elementar que preserva o espaço das soluções (no nosso objetivo transforma a coluna de pivô em 1).]

Passo 5

Eliminar o elemento abaixo do pivô (transformar o elemento (2,1) em 0). Operação: subtrair a linha 1 da linha 2:
R_2\leftarrow R_2-R_1.
Calculemos componente a componente:
  • Coluna 1: 1-1=0.
  • Coluna 2: 4-\tfrac{3}{2}= \tfrac{8}{2}-\tfrac{3}{2}=\tfrac{5}{2}.
  • Bloco direito, primeira coluna: 0-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
  • Bloco direito, segunda coluna: 1-0=1.
Resultado:
\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Obter pivô 1 na segunda linha, segunda coluna. Operação: multiplicar a segunda linha por \tfrac{2}{5} (recíproco de \tfrac{5}{2}):
R_2\leftarrow \tfrac{2}{5}R_2.
Cálculos:
  • \tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{2}{5}=1.
  • -\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}=-\tfrac{1}{5}.
  • 1\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{2}{5}.
Resultado:
\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} \end{array}\right).]

Passo 7

Eliminar o elemento acima do pivô (transformar o elemento (1,2) em 0). Operação: subtrair \tfrac{3}{2} vezes a linha 2 da linha 1:
R_1\leftarrow R_1-\tfrac{3}{2}R_2.
Cálculos para o bloco direito da linha 1:
  • Primeiro elemento: \tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{5}\right)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{10}=\tfrac{5}{10}+\tfrac{3}{10}=\tfrac{8}{10}=\tfrac{4}{5}.
  • Segundo elemento: 0-\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{2}{5}=0-\tfrac{3}{5}=-\tfrac{3}{5}.
O bloco esquerdo fica \left(\begin{smallmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{smallmatrix}\right). Assim obtemos:
\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \tfrac{4}{5} & -\tfrac{3}{5}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} \end{array}\right).]

Passo 8

Interpretação final: como o bloco esquerdo virou a identidade I, o bloco direito é a inversa A^{-1}. Portanto
A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \tfrac{4}{5} & -\tfrac{3}{5}\\[6pt] -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} \end{array}\right).
Verificação rápida (opcional): multiplicando A por A^{-1} obtém-se I; isso confirma o resultado (pode-se checar termo a termo se quiser na prova).]

Resposta

A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \tfrac{4}{5} & -\tfrac{3}{5}\\[6pt] -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} \end{array}\right)]

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