Descubra o termo geral a_{n} das sequências abaixo:
(1,0,1,0,1,0, \cdots).

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência periódica de período 2
(1,0,1,0,1,0,\dots)
e pede o termo geral a_{n}. O conteúdo aqui é reconhecer o padrão de valores conforme a paridade de n (índices pares e ímpares) e expressá-lo numa única fórmula.

Passo 2

Observando os primeiros termos, temos:
  • Se n é ímpar, aparece a_{n}=1.
  • Se n é par, aparece a_{n}=0.
Para capturar a paridade de n usamos a potência (-1)^{n}, que vale 1 quando n é par e -1 quando n é ímpar.

Passo 3

Queremos uma expressão que seja 1 quando (-1)^{n}=-1 (caso ímpar) e 0 quando (-1)^{n}=1 (caso par). A combinação
a_{n}=\frac{1 - (-1)^{n}}{2}
faz exatamente isso:
\text{se \(n\) é par: }(-1)^{n}=1\implies a_{n}=\frac{1-1}{2}=0, \quad \text{se \(n\) é ímpar: }(-1)^{n}=-1\implies a_{n}=\frac{1-(-1)}{2}=1.ééí

Resposta

a_{n} = \frac{1 - (-1)^{n}}{2}.

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