Discuta a convergência ou divergência das sequências abaixo analisando se são monótonas e/ou limitadas.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para discutir convergência ou divergência, analisando monotonicidade e limitada. Vamos usar a comparação de termos sucessivos para ver se é monótona, observar limites para ver se é limitada e depois concluir sobre convergência.
Passo 2
Para estudar monotonicidade, calculamos a razão entre termos consecutivos:
Como
, segue que
para todo
. Logo
ou seja,
é estritamente decrescente.
Passo 3
Para verificar limites, notamos que cada
é positivo, pois
e
são positivos. Assim
Portanto
é limitada superiormente por
e inferiormente por
.
Passo 4
Uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge. Seja
. Como
se
então o quociente dos limites seria
, contradizendo
. Logo
só pode ser
. Portanto
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente e limitada entre
e
, logo converge, e