Discuta a convergência ou divergência das sequências abaixo analisando se são monótonas e/ou limitadas.
a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}\'

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{n!}{n^{n}},
e pede para discutir convergência ou divergência, analisando monotonicidade e limitada. Vamos usar a comparação de termos sucessivos para ver se é monótona, observar limites para ver se é limitada e depois concluir sobre convergência.

Passo 2

Para estudar monotonicidade, calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\frac{n!}{n^{n}}} = \frac{(n+1)\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.
Como \frac{n}{n+1}<1, segue que \bigl(\frac{n}{n+1}\bigr)^{n}<1 para todo n. Logo
a_{n+1}<a_{n},
ou seja, (a_{n}) é estritamente decrescente.

Passo 3

Para verificar limites, notamos que cada a_{n} é positivo, pois n! e n^{n} são positivos. Assim
0 < a_{n+1} < a_{n} \le a_{1} = 1.
Portanto (a_{n}) é limitada superiormente por 1 e inferiormente por 0.

Passo 4

Uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge. Seja L=\lim_{n\to\infty}a_{n}. Como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} = e^{-1}<1,
se L>0 então o quociente dos limites seria 1, contradizendo e^{-1}<1. Logo L só pode ser 0. Portanto
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

A sequência \bigl(a_{n}\bigr) é estritamente decrescente e limitada entre 0 e 1, logo converge, e
\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{n}} = 0.

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