Descubra a Transformada Inversa de Laplace:
\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{2 s-5}{s^{2}-9}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{2s-5}{s^{2}-9}\Bigr).
O conteúdo aqui é inversão de Laplace usando decomposição em frações parciais e a propriedade conhecida
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{1}{s-a}\Bigr)=e^{a t}.

Passo 2

Fatoramos o denominador
\;s^{2}-9=(s-3)(s+3)
e escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{2s-5}{s^{2}-9}=\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+3}.

Passo 3

Igualando numeradores, temos
2s-5 = A(s+3)+B(s-3).
Desenvolvendo o lado direito surge
2s-5 = (A+B)\,s + (3A - 3B).

Passo 4

Comparando coeficientes de s\) e termo constante, obtém-se o sistema \[\begin{cases} A+B = 2,\\\\ 3A - 3B = -5. \end{cases}
Da segunda equação vem A - B = -\tfrac{5}{3}\]. Somando com \(A+B=2
2A = 2 - \tfrac{5}{3} = \tfrac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{6},
e então
B = 2 - A = 2 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{11}{6}.

Passo 5

Substituindo A e B volta
\frac{2s-5}{s^{2}-9} = \frac{\tfrac{1}{6}}{s-3} + \frac{\tfrac{11}{6}}{s+3}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo e usando
\mathcal{L}^{-1}(1/(s-a))=e^{a t}, obtemos
f(t) = \tfrac{1}{6}\,e^{3t} + \tfrac{11}{6}\,e^{-3t}.

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{2s-5}{s^{2}-9}\Bigr) = \frac{1}{6}\,e^{3t} + \frac{11}{6}\,e^{-3t}.

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