Desde 1987, a taxa de produção de gás natural nos Estados Unidos tem sido de aproximadamente
quatrilhões de unidades térmicas britânicas por anos no instante t , onde
corresponde a 1987, e
. Encontre a fórmula para a produção total de gás natural pelos Estados Unidos durante o período de 1987 até o instante t .
Passo 1
O enunciado diz que a taxa de produção de gás natural nos EUA, em quatrilhões de BTU por ano, é dada por R(t)=17,04 e^{0.016 t}, com t=0 em 1987. Queremos a produção total de 1987 até um instante t, ou seja, precisamos integrar essa taxa ao longo do tempo. O conteúdo é integração de exponential e vamos usar a antiderivada de e^{kt}.
Passo 2
A produção acumulada P(t) é dada por
Aqui escrevemos a integral definida da taxa R(x) de 0 até t.
Passo 3
Para calcular a integral, lembramos que
Multiplicando pelo coeficiente 17,04, obtemos a antiderivada:
Passo 4
Agora aplicamos os limites de 0 a t:
O quociente 17,04/0.016 vale 1065.
Passo 5
Portanto, a fórmula da produção total de gás natural nos EUA de 1987 até o instante t é
em quatrilhões de BTU.
Resposta
P(t)=1065\bigl(e^{0.016t}-1\bigr) quatrilhões de BTU