Desde 1987, a taxa de produção de gás natural nos Estados Unidos tem sido de aproximadamente R(t) quatrilhões de unidades térmicas britânicas por anos no instante t , onde t=0 corresponde a 1987, e R(t)=17,04 e^0.016 t. Encontre a fórmula para a produção total de gás natural pelos Estados Unidos durante o período de 1987 até o instante t .

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de produção de gás natural nos EUA, em quatrilhões de BTU por ano, é dada por R(t)=17,04 e^{0.016 t}, com t=0 em 1987. Queremos a produção total de 1987 até um instante t, ou seja, precisamos integrar essa taxa ao longo do tempo. O conteúdo é integração de exponential e vamos usar a antiderivada de e^{kt}.

Passo 2

A produção acumulada P(t) é dada por
P(t)=integral0^tR(x),dx=integral0^t17,04,e^0.016x,dx
Aqui escrevemos a integral definida da taxa R(x) de 0 até t.

Passo 3

Para calcular a integral, lembramos que
integral e^0.016x,dx=10.016e^0.016x
Multiplicando pelo coeficiente 17,04, obtemos a antiderivada:
integral17,04,e^0.016x,dx=17,04cdot10.016e^0.016x= 17,040.016e^0.016x

Passo 4

Agora aplicamos os limites de 0 a t:
P(t)=[17,040.016e^0.016x]0^t=17,040.016l(e^0.016t-e^0r)=17,040.016(e^0.016t-1)
O quociente 17,04/0.016 vale 1065.

Passo 5

Portanto, a fórmula da produção total de gás natural nos EUA de 1987 até o instante t é
P(t)=1065l(e^0.016t-1r)
em quatrilhões de BTU.

Resposta

P(t)=1065\bigl(e^{0.016t}-1\bigr) quatrilhões de BTU

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