Nos exercícios 43 a 79, calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=lnl(1+x1-xr). O conteúdo principal aqui é derivada de ln(u(x)) junto com regra da cadeia e derivada de quociente.

Passo 2

Vamos chamar u(x)=1+x1-x, de modo que f(x)=ln(u(x)). Pela regra da cadeia, temos f'(x)=u'(x)u(x).

Passo 3

Para calcular u'(x), aplicamos a regra do quociente em u(x)=1+x1-x:
u'(x)=(1-x)cdotddx(1+x)-(1+x)cdotddx(1-x)(1-x)^2
As derivadas internas são ddx(1+x)=1 e ddx(1-x)=-1. Logo,
u'(x)=(1-x)cdot1-(1+x)cdot(-1)(1-x)^2 =1-x+1+x(1-x)^2 =2(1-x)^2

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x)u(x), temos:
f'(x)=2(1-x)^21+x1-x =2(1-x)^2cdot1-x1+x =2(1-x)(1+x) =21-x^2

Resposta

f'(x)=21-x^2

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