Exercício 1.8.10 Determine o maior conjunto possível, dentro do conjunto R, de formar que cada equação abaixo represente uma função.
f(x)=x^2-6 x+5raizx^2-x-6;

Passo 1

O enunciado pede o domínio máximo em ℝ para que
f(x)=x^2-6x+5raizx^2-x-6
seja uma função bem definida. O conteúdo envolvido é análise de domínio com radical no denominador. Para resolver, vamos checar as condições que garantem a expressão real e o denominador não nulo.

Passo 2

Como há uma raiz quadrada no denominador, precisamos que o radicando seja não negativo e que o denominador não se anule. Ou seja, devemos ter
x^2-x-6>=0
e, ao mesmo tempo, como é denominador, não podemos ter raiz zero, logo
x^2-x-6>0

Passo 3

Para resolver a desigualdade
x^2-x-6>0
vamos fatorar ou usar Bhaskara. As raízes da equação associada x^2-x-6=0 são
x=1pmraiz1+242=1pm52,
isto é, x=-2 e x=3. Sabe-se que um trinômio quadrático de coeficiente principal positivo é maior que zero quando
x< -2ou x>3

Passo 4

Portanto, juntando tudo, o domínio da função é o conjunto de todos os x tais que a raiz é real e o denominador distinto de zero. Assim, temos
,,,,,,D=xinR:x<-2cupxinR:x>3

Resposta

(-\infty,-2)\cup(3,\infty)

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