Deseja-se avaliar se diferentes tratamentos térmicos resultam em diferenças significativas na resistência à tração do aço. Os dados obtidos são:
Tratamento Resistência (\mathrm{MPa})
A 410 420 415
B 435 440 438
C 455 460 458
Verifique se há diferença significativa entre os tratamentos ao nível de 5 \%.

Passo 1

O enunciado pede um teste de comparação de médias de três tratamentos térmicos (A, B e C) na resistência à tração do aço, ao nível de significância de 5\%. O conteúdo aplicado é a ANOVA unidirecional, em que calculamos médias, somas de quadrados entre e dentro dos grupos, razão F e a comparamos com o valor crítico.

Passo 2

Calculamos as médias de cada tratamento e a média geral:
\bar X_A=\frac{410+420+415}{3}=415,
\bar X_B=\frac{435+440+438}{3}=437,67,
\bar X_C=\frac{455+460+458}{3}=457,67,
\bar X=\frac{(410+420+415)+(435+440+438)+(455+460+458)}{9} =\frac{3931}{9}=436,78.

Passo 3

Calculamos a soma de quadrados entre tratamentos \mathrm{SSB} e dentro dos tratamentos \mathrm{SSW}:
\mathrm{SSB} =3\,(415-436,78)^2+3\,(437,67-436,78)^2+3\,(457,67-436,78)^2 \approx1422,84+2,37+1309,23=2734,44,
\mathrm{SSW} =\sum_{i=A,B,C}\sum_{j=1}^{3}(X_{ij}-\bar X_i)^2 =50+12,67+12,67=75,34.

Passo 4

Calculamos graus de liberdade, quadrados médios e estatística F:
\mathrm{df}_{\text{entre}}=3-1=2, \quad \mathrm{df}_{\text{dentro}}=9-3=6,
\mathrm{MSB}=\frac{\mathrm{SSB}}{2}=\frac{2734,44}{2}=1367,22, \quad \mathrm{MSW}=\frac{\mathrm{SSW}}{6}=\frac{75,34}{6}=12,56,
F=\frac{\mathrm{MSB}}{\mathrm{MSW}} =\frac{1367,22}{12,56}\approx108,88.

Passo 5

O valor crítico para F_{0,05;\,2,6} é aproximadamente 5,14. Como
F_{\text{calc}}=108,88 > 5,14=F_{\text{crit}},
rejeitamos a hipótese nula de igualdade de médias.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%. Há diferença significativa entre os tratamentos.

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