Estuda-se o conteúdo de titânio em uma liga, na intenção de aumentar a força de tração. Uma análise de seis espécimes escolhidos aleatoriamente resulta nos seguintes conteúdos de titânio.
8,0 ; 9,9 ; 9,9 ; 7,7 ; 11,6 ; 14,6(\%)
a) Há alguma evidência de que o conteúdo médio de titânio é maior do que 9,5 \% ?
b) Se quiséssemos testar se o conteúdo médio de titânio é diferente de 9,5 \% utilizando o I.C. ( \mu ; 98 \% ), o que poderíamos concluir?

Passo 1

O enunciado fornece seis medidas do teor de titânio em porcentagem:
8{,}0,\;9{,}9,\;9{,}9,\;7{,}7,\;11{,}6,\;14{,}6
e pede (a) testar se o teor médio \mu é maior que 9{,}5\% (teste unilateral à direita) e (b) construir o intervalo de confiança de 98\% para \mu e verificar se ele refuta a hipótese de \mu=9{,}5\%. O método envolve a estatística t (amostra pequena, variância populacional desconhecida).

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x e o desvio-padrão amostral s.
\bar x = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}x_i = \frac{8{,}0+9{,}9+9{,}9+7{,}7+11{,}6+14{,}6}{6} = \frac{61{,}7}{6} \approx10{,}2833\%
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar x)^2 \approx\frac{32{,}5504}{5} =6{,}5101 \quad\Longrightarrow\quad s\approx2{,}551\%.

Passo 3

Para (a), a estatística de teste é
t = \frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{10{,}2833 - 9{,}5}{2{,}551/\sqrt{6}} \approx0{,}752,
com n-1=5 graus de liberdade. O valor crítico para nível \alpha=0{,}05 (teste unilateral à direita) é
t_{0{,}95,5}\approx2{,}015.

Passo 4

Como t\approx0{,}752 <2{,}015, não rejeitamos H_0:\mu=9{,}5\%. Não há evidência significativa (ao nível 5\%) de que o teor médio seja maior que 9{,}5\%.

Passo 5

Para (b), o intervalo de confiança de 98\% para \mu é
\bar x \pm t_{0{,}99,5}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{0{,}99,5} (df  =5) é aproximadamente 3{,}365. Logo
10{,}2833 \pm 3{,}365\cdot\frac{2{,}551}{\sqrt{6}} \approx10{,}2833 \pm3{,}5065
ou seja
[\,6{,}7768\%,\;13{,}7898\%\,].
Note que 9{,}5\% está dentro desse intervalo, logo um teste bilateral a 2\% de significância também não rejeitaria H_0:\mu=9{,}5\%.

Resposta

(a) Não há evidência, ao nível 5\%, de que \mu>9{,}5\%.
(b) O IC de 98\% para \mu é aproximadamente [6{,}78\%,13{,}79\%], que contém 9{,}5\%, de modo que não rejeitamos a hipótese de \mu=9{,}5\%.

Exercícios relacionados