Estão sendo estudadas dois métodos para produção de gasolina a partir do petróleo cru. Supõe-se que os resultados de ambos os processos sejam distribuídos normalmente. Os seguintes dados sobre resultados foram obtidos em uma usina piloto.
Processo Resultados (%)
1 24,2 26,6 25,7 24,8 25,9 26,5
2 21 22,1 21,8 20,9 22,4 22
Há razão para se acreditar que o processo 1 tem um resultado médio maior? Use \alpha= 0,01 . Suponha que ambas as variâncias sejam iguais.

Passo 1

O enunciado apresenta dois conjuntos de dados, cada um com n_{1}=6 e n_{2}=6 observações, e supõe que ambos os processos seguem distribuição normal com variâncias iguais. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,01,
H_{0}:\mu_{1} = \mu_{2} \quad\text{versus}\quad H_{1}:\mu_{1} > \mu_{2}
onde \mu_{1} e \mu_{2} são as médias dos processos 1 e 2. Vamos usar o teste t de Student para duas amostras com variâncias iguais.

Passo 2

Calcular as médias amostrais
\bar x_{1} =\frac{24,2+26,6+25,7+24,8+25,9+26,5}{6} =25,6167
\bar x_{2} =\frac{21+22,1+21,8+20,9+22,4+22}{6} =21,7000

Passo 3

Calcular as variâncias amostrais
Para o processo 1:
s_{1}^{2} =\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{6}(x_{1i}-\bar x_{1})^{2} \approx0,90165
Para o processo 2:
s_{2}^{2} =\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{6}(x_{2i}-\bar x_{2})^{2} \approx0,37600

Passo 4

Calcular a variância agrupada (pooled)
s_{p}^{2} =\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2} =\frac{5\cdot0,90165+5\cdot0,37600}{10} \approx0,63883
s_{p}=\sqrt{0,63883}\approx0,79927

Passo 5

Calcular a estatística de teste
t =\frac{\bar x_{1}-\bar x_{2}} {s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}} =\frac{25,6167-21,7000} {0,79927\sqrt{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}} \approx8,49
Os graus de liberdade são n_{1}+n_{2}-2=10.

Passo 6

Valor crítico para t unilateral a 1 % e 10 g.l.:
t_{0,99;\,10}\approx2,764
Como t_{\text{calc}}=8,49>2,764, rejeitamos H_{0}.

Resposta

Há evidência significativa, ao nível \alpha=0,01, de que o processo 1 tem média de produção de gasolina maior que o processo 2.

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